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高中数学《立体几何》水平测试(理)
一、选择题
1.下列各图是正方体或正四面体,
分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
D 2.已知直线 与平面 ,给出下列四个命题: ①若 ,则 ;
②若
,则
;
③若
,则
;
④
,则
A.①② B.①④ C.③④ D.④
D 3.三棱锥
中,
和
是全等的正三角形,边长为2,且
,则三棱锥
的体积为( ) A.
B.
C.
D.
B 4.
是两条异面直线,
是不在
上的点,则下列结论成立的是( ) A.过
有且只有一个平面平行于
B.过
至少有一个平面平行于
C.过
有无数个平面平行于
D.过
且平行
的平面可能不存在 D 5.用一个平面去截一个正四棱柱,截法不同,所得截面形状不一定相同,在各种截法中,边数最多的截面的形状为( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 C 6.已知棱长为2的正方体内有一个和各个面都相切的球体,则球体的表面积是( ) A.
B.
C.
D.
C
7.若一个正三棱柱的三视图如图1所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别是( ) A.
B.
C.
D.
D
8.如图2,在直三棱柱 中,底面 是等腰直角三角形,斜边 ,侧棱 ,点 是 的中点,那么截面 与底面 所成二面角的大小是( ) A. B. C. D.非以上答案 B 9.设有四个命题: ①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体
③有两条侧棱都垂直于底面两边的平行六面体是直平行六面体
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体
以上四个命题中,真命题的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面直相切,已知这个球的体积是
,那么这个三棱柱的体积是( ) A.
B.
C.
D.
D 11.把边长为
的正
沿高线
折成
的二面角,则点
到
的距离是( ) A.
B.
C.
D.
D
12.如图3,已知直三棱柱
的侧棱长是2,底面
是等腰直角三角形,且
是
的中点,
是
的中点,则三棱锥
的体积是( ) A.
B.
C.
D.
A 二、填空题 13.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
,腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 .
14.如图4,正六棱柱
的底面边长为1, 侧棱长为
,则这个棱柱的侧面对角线
与
所成角的大小 为 .
15.在空间四边形
中,点
分别在
上,若直线
与
相交于点
,则点
与直线
的关系是 .
16.如图5,正方体
中,点
,且
,有以下四个结论: ①
;
②
;
③
与面
成
角;
④
与
是异面直线.
其中正确结论的序号是 .
①③
三、
解答题 17.如图6,正方体
中,问棱
上是否存在点
,使得平面
平面
?证明你的结论.
点
是
的中点 18.在正四面体
中,
为
的中点,求异面直线
和
所成角的余弦值.
19.如图7,在四棱锥
中,底面
为矩形, 侧棱
底面
为
的中点.在侧面
内找一点
,使
面
, 并求出
点到
和
的距离.
到
和
的距离分别为
20.过棱长为2的正方体
的棱
的中点
作截面.求: (1)棱锥
的体积; (2)点
到平面
的距离. (1)
;
(2)
21.如图8,在矩形
中,
,
是
边上的中点,以
为折痕将
向上折起,使
为
, 且平面
平面
. (1)求证:
; (2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明略;
(2)
. 22.如图9,已知四棱锥
平面
, 底面
为直角梯形,
,且
. (1)点
在线段
上运动,且没
,问当
为何值时,
平面
?并证明你的结论; (2)当
面
时,若二面角
为
,求二面角
的大小; (3)在(2)的条件下,若
,求点
到平面
的距离. (1)
; (2)
; (3)
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