2011届高考数学第一轮巩固与练习题07

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2011届高考数学第一轮巩固与练习题巩固

数学数学人教A版(文)课件B9-5.tif">1．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为(　　)

A.               B.

C.             D.

解析：选D.在l：x－2y＋2＝0上，

令y＝0得F1(－2,0)，

令x＝0得B(0,1)，即c＝2，b＝1.

∴a＝，e＝＝.

2．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝1，则MF1的长等于(　　)

A．2             B．4

C．6             D．5

解析：选C.由椭圆方程知a＝4，

∴|MF1|＋|MF2|＝8，

∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6.

3．(2009年高考江西卷)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)

A.            B.

C.             D.

解析：选B.由题意知点P的坐标为(－c，)或(－c，－)，

∵∠F1PF2＝60°，

∴＝，即2ac＝b2＝(a2－c2)．

∴e2＋2e－＝0，∴e＝或e＝－(舍去)．

4.椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.

解析：方程可化为x2＋＝1.

∵焦点(0,2)在y轴上，

∴a2＝－，b2＝1，

又∵c2＝a2－b2＝4，∴a2＝5，

解得k＝－1.

答案：－1

5．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

解析：由椭圆的定义得

两式相加得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，

即|AB|＋12＝20，

∴|AB|＝8.

答案：8

6．中心在原点，一个焦点为F1(0，)的椭圆截直线y＝3x－2所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．

解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由F1(0，)得a2－b2＝50.把直线方程y＝3x－2代入椭圆方程整理得(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0.设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1＋x2＝，又AB的中点的横坐标为，∴＝＝，∴a2＝3b2，与方程a2－b2＝50联立可解出a2＝75，b2＝25.故椭圆的方程为＋＝1.

练习

1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1          B.＋＝1

C.＋y2＝1          D.＋＝1

解析：选A.∵x2＋y2－2x－15＝0，

∴(x－1)2＋y2＝16，

∴r＝4＝2a，

∴a＝2，

∵e＝，∴c＝1，∴b2＝3.

2．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)

A．圆               B．椭圆

C．双曲线的一支     D．抛物线

解析：选A.∵|PF1|＋|PF2|＝2a，

|PQ|＝|PF2|，

∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a.

即|F1Q|＝2a.

∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，

故动点Q的轨迹是圆．

3．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于(　　)

A．0               B．2

C．4               D．－2

解析：选D.易知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．

这时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)，

∴＝(－，－1)，＝(，－1)，

∴·＝－2.

4．(2009年高考浙江卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)

A.                    B.

C.                      D.

数学数学人教A版(文)课件9-5.TIF">解析：选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝，设P(0，t)，

∵＝2，

∴(－a，t)＝2(－c，－t)．

∴a＝2c，

∴e＝＝.

数学数学人教A版(文)课件9-6.TIF">5．(2010年长沙模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　)

A．(0，－1)       B．(0，－1)

C．(－1,1)         D．(－1,1)

解析：选A.由△ABF2为钝角三角形，得AF1＞F1F2，∴＞2c，化简得c2＋2ac－a2＜0，∴e2＋2e－1＜0，又0＜e＜1，解得0＜e＜－1，选A.

6.B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是(　　)

A.                 B.

C.                 D.

解析：选B.设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

令x＝－c得y2＝，∴|PF1|＝，

∴＝＝，

又由|F1B2|2＝|OF1|·|B1B2|得a2＝2bc，

∴a4＝4b2(a2－b2)．

∴(a2－2b2)2＝0.∴a2＝2b2.∴＝.

7．F1、F2是椭圆＋＝1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.

解析：由题意，因为△PF1F2是等边三角形，

故2c＝a，又b＝3，所以a2＝12.

答案：12

8．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．

解析：设正方形边长为1，则AB＝2c＝1，∴c＝.

∵AC＋BC＝1＋＝2a，

∴a＝.

∴e＝＝＝－1.

答案：－1

9．(2009年高考北京卷)椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．

解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.

在△F1PF2中，

cos∠F1PF2

＝

＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.

答案：2　120°

10．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，

由已知条件得，

a＝4，c＝2，b2＝12.

故所求方程为＋＝1或＋＝1.

法二：设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．

两个焦点分别为F1，F2.

由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，∴a＝4.

在方程＋＝1中，令x＝±c得|y|＝，

在方程＋＝1中，令y＝±c得|x|＝，

依题意有＝3，∴b2＝12.

∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

11．已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：

(1)椭圆方程；

(2)△PF1F2的面积．

解：(1)法一：令F1(－c,0)，F2(c,0)，

∵PF1⊥PF2，∴kPF1·kPF2＝－1，

即·＝－1，解得c＝5，

∴椭圆方程为＋＝1.

∵点P(3,4)在椭圆上，

∴＋＝1，

解得a2＝45或a2＝5，

又a>c，∴a2＝5舍去，

故所求椭圆方程为＋＝1.

法二：∵PF1⊥PF2，

∴△PF1F2为直角三角形，

∴|OP|＝|F1F2|＝c.

又|OP|＝＝5，∴c＝5，

∴椭圆方程为＋＝1(以下同法一)．

(2)法一：P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，

∴S△PF1F2＝|F1F2|×4＝×10×4＝20.

法二：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝6①

又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2②

①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，

∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.

12.设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两点，m＝(，)，n＝(，)，且满足m·n＝0，椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值．

解：(1)2b＝2，b＝1，e＝＝＝⇒a＝2，c＝.

故椭圆的方程为＋x2＝1.

(2)设AB的方程为y＝kx＋，

由⇒(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.

x1＋x2＝，

x1x2＝，

由已知0＝m·n＝＋

＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(1＋)x1x2＋(x1＋x2)＋

＝·(－)＋·＋，

解得k＝±

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