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奉新一中2014年高一数学下学期期末理科试卷(含答案)

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奉新一中2014年高一数学下学期期末理科试卷(含答案)
一、选择题:(本大题共 小题,每小题 分,共 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为(    )
A.       B. 
C.    D. 
2. 设{ }为等差数列,公差 , 为其前n项和.若 ,则 =(    )
A.          B.          C.          D. 
3.不等式 的解集是(     )
A.     B.      C.     D.
4. 下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是(    )
 

 


5. 在 中, , , ,则 的值为  (     )
A.          B.          C.          D.
6. 一组数据共有 个数,记得其中有 , , , , , ,还有一个数没记清,但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等比数列,这个数的所有可能值的和为(    )
A.         B.           C.           D.
7. 在平行四边形 中, 、 分别是 、 的中点, 交 于 ,记 、  分别为 、 ,则 =(   )
    A.  -             B.  +  
    C.-  +            D.-  -         
8.若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则 的取值范围是(   )
A.   B.  C.   D. 或
9. 两个不共线向量 , 的夹角为 , 分别为 与 的中点,点 在直线  上,且 ,则 的最小值为(     )  
                                     
10.设数列 的前 项和为 , , ,若    ,则 的值为(    )
A.       B.          C.         D.

二、填空题(本大题共 小题,每小题 分,共 分)
11.ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔA’B’C’,其中A’B’∥y’轴,B’C’∥x’轴,若ΔA’B’C’的面积是3,则ΔABC的面积是____________.
12. 在△ 中,若    则△ 的形状为                  
13. 程序框图如下:如果下述程序运行的结果为 ,那么判断框中横线上应填入的数字是        .

 


14. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
由表中数据,求得线性回归方程为 。若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为_____________。
15. 在数列 中,若对任意的 ,都有 ( 为常数),则称数列 为比等差数列, 称为比公差.现给出以下命题:
①若 是等差数列, 是等比数列,则数列 是比等差数列.
②若数列 满足 ,则数列 是比等差数列,且比公差 ;
③等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;
④若数列 满足 , , ( ),则该数列不是比等差数列;

其中所有真命题的序号是             

三、解答题:(本大题共 小题,共 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
16.已知向量 = ,  =  , = ,
(1)若点 、 、 能构成三角形,求实数 应满足的条件;
(2)若△ 为直角三角形,且∠ 为直角,求实数 的值.
   


17. 在 中 ,角 , , 的对边分别为 , , ,若
(1)求边长 的值 ;    (2)若 , 求 的面积


18. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40, 50),[50, 60),…,[90, 100] 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
 
(1)求分数在 [70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;

(3)用分层抽样的方法在分数在[60,80)内学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成

一个总体,从中任取2人,求至多有1人的分数在[70,80)内的概率。
 

19. 若 满足约束条件  ,
(1)求目标函数 的最值.
(2)若目标函数 仅在点 处取得最小值,求 的取值范围.
(3)求点 到直线 的距离的最大值.


20. 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 (千米/时)的平方成正比,比例系数为 ;固定部分为 元.
(1)把全程运输成本 (元)表示为速度 (千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?


21.根据如图所示的程序框图,将输出的 、 值依次分别记为
 , ,…, ,…, ;
(1)求数列 的通项公式 ; 
(2)写出 , , , ,由此猜想出数列
的一个通项公式 ,并证明你的结论。
(3)若 ,求 的值

 

 

(所有答案写在答题卡上)
2016届高一下学期期末考试数学(理)参考答案
 
三、解答题:(本大题6小题,共75分,解答写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. 解:(1)已知向量
若点A、B、C能构成三角形,则这三点不共线,         
 故知 .
∴实数 时,满足的条件.                             
(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,则 ,    
∴ ,解得 .             

17.  解:(1)由题意可得:
           
18.
 

解:(1)1-(0.05+0.1+0.15+0.15+0.25) = 0.30            (补全直方图略 )  
  
(2)45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 = 71
  
(3)由题意知[60, 70)中抽2人,设为A1A2 ,[70, 80)中抽取4人,设为B1B2B3B4

则任取两人共有15种取法 (A1, A2) (A1, B1)(A1, B2)(A1, B3) (A1, B4)(A2, B1)

(A2, B2)(A2, B3) (A2, B4)(B1, B2)(B1, B3)(B1, B4)(B2, B3)(B2, B4)(B3, B4)
          
 至多有一人在[70, 80) 总有9种情况        


19. 解:(1)作出可行域,可求得:直线 , , 的交点分别
为 , , ,平移直线 ,
观察图像可得:过 取得最小值 ,过 取得最大值 。
 


 (2)依题意知 , , , 都为正数,故有  
      当且仅当 ,即   时等号成立。
① 若 ,则当 时, 取得最小值; 
② 若 ,则 ,
 
因为 ,且 ,故有 ,
 ,
故: ,当仅且当 时等号成立。
综上可知,若 ,则当 时,全程运输成本最小;
若 ,则当 时,全程运输成本y最小. 

 

21.解:(1)由框图知数列               

(2) 可求:
由此,猜想
证明:由框图,知数列 中,
∴    ∴  
∴数列 是以 为首项, 为公比的等比数列。
∴     ∴ ( )
(3)  =
=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)

=1×3+3×32+…+(2n-1)•3n-[1+3+…+(2n-1)]
记 =1×3+3×32+…+(2n-1)•3n        ①

则3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1     ②
①-②,得-2Sn=3+2•32+2•33+…+2•3n-(2n-1)•3n+1

=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)•3n+1
=2×
=
 
∴      又1+3+…+(2n-1)=n2

 

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