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一、选择题
1．
高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
解析：三 个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．
答案：C
2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A．9 B ．14 C．15 D．21
解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.
答案：B
3．(2014年潍坊模拟)从1到10的正整数中，任意抽取两个数相加，所得和为奇数的不同情形的种数是( )
A．10 B．15 C．20 D．25
解析：要使两个数的和为奇数，则两数为一奇一偶，奇数有5种取法，偶数有5种取法，所以共有5×5＝25种．
答案：D
4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
解析：分两类情况讨论：
第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12个奇数；
第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6个奇数．
根据分类加法计数原理，知共有12＋6＝18个奇数．
答案：B
5．用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，则上述四位数中“渐降数”的个数为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
解析：由题意知，只需找出组成“渐降数”的四个数字即可，等价于从六个数字中去掉两个数字．
从前向后先取0，有0与1,0与2,0与3,0与4,0与5，共5种情况；
再取1，有1与2,1与3,1与4,1与5，共4种情况；
依次向后分别有3,2,1种情况．
根据分类加法计数原理，满足条件的“渐降数”共有1＋2＋3＋4＋5＝15个．
答案：B
6．(2014年 海淀模拟)书架上原来并排着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )
A．336种 B．120种 C．24种 D．18种
解析：插入第一本书有6种方法，插入第二本书有7种方法，插入第三本书有8种方法，故总的插书方法为6×7×8＝336种．
答案：A
二、填空题
7．从6个人中选 4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．
解析：共有4×5×4×3＝240(种)．
答案：240
8.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
解析：分两类：①有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；②有两条公共边的三角形共有8个．故共有32＋8＝40(个)．
答 案：40
9.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．
1 2 3
3 1 2
2 3 1
解析：由于3×3方格中，每行 、每列均没有重复数字，
△
△
△
因此可从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种(即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，
其他行的数字便可确定)，当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1,2,3时，也共有6种，共12种．
答案：12
三、解答题
10．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？
(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？
解析：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个．
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．
(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．
∴应有1＋3＝4(种)．
11.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号 ，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？
解析：根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E有A33＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18种不同方法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
12.(能力提升)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？(用数字作答)?
解析：从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求解．
(1)②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1＝4×3×2×2×1＝48(种)．
(2)③与⑤同色，则②④或④⑥同色，所以共有N2＝4×3×2×2×1＝48(种)；
(3)②与④且③与⑥同色，所以共有N3＝4×3×2×1＝24(种)．
所以，共有N＝N1＋N2＋N3＝48＋48＋24＝120(种)．
[B组 因材施教•备选练习]
1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48 C．36 D．24
解析：长方体的 6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.
答案：B
2．(2014年潍坊期中)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
解析：若三个相同的数字为1，则有3×3＝9(个)“好数”；若三个相同的数字不是1，则应为2221,3331,4441，有3个，所以共有9＋3＝12个．
答案：12
3.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1 ,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小 正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．
1 2 3
4 5 6
7 8 9
解 析：第一步，从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形，涂法有3种；
第二步，涂标号为“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有2×2种，若“2 、6”不同色，涂法有2×1种；
第三步：涂标号为“4、7、8”的小正方形，涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样．
因此符合条件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2 ×2＋2×1)＝ 108(种)．
答案：108
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