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2015高考数学(理)二轮复习不等式选讲配套试题

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理数
1. (2014江西,11(1),5分) (1)(不等式选做题)对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为(  )
A.1B.2C.3D.4
[答案] 1.C
[解析] 1.∵|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,
|y-1|+ |y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3,
当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|取到最小值3,故选C.
2.(2014安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为(  )
A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8
[答案]  2.D
[解析] 2.f(x)=|x+1|+|2x+a|=|x-(-1)|+ + ,在x轴上取点A(-1,0),B ,P(x,0),
则f(x)=|PA|+|PB|+|PB|≥|AB|=f = =3,
∴|a-2|=6,即a=8或-4.故选D.
3.(2014辽宁,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:
①f(0)=f(1)=0;
②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|< |x-y|.
若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小 值为(  )
A. B.   C.   D.
[答案] 3.B
[解析] 3.当x=y时,|f(x)-f(y)|=0.
当x≠y时,当|x-y|≤ 时,依题意有|f(x)-f(y)|< |x-y|≤ ;
当|x-y|> 时,不妨设x<y,依题意有|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|≤|f(x)-f(0)|+|f(1)-f(y)|< |x-0|+ |1-y|= - (y-x),又y-x> ,∴|f(x)-f(y)|< - × = .
综上所述,对所有x,y∈[0,1],都有|f(x)-f(y)|< .因此,k≥ ,即k的最小值为 ,故选B.[来源:学科网]
4.(2014湖北八市高三下学期3月联考,10) 实数ai(i=1,2, 3,4, 5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2=1则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为(    )
A.3      B.2       C.       D.1
[答案] 4.  B
[解析] 4.  因为
 
 , 所以 ,即 .
5. (2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
[答案] 5.
[解析] 5.令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min= ,依题意得a2+ a+2≤ ⇔-1≤a≤ .
6. (2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为 x - <x<  ,则a=________.
[答案] 6.-3
[解析] 6.依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,
当a>0时,不等式的解集为 ,
有 此方程组无解.
当a<0时,不等式的解集为 ,
从而有 解得a=-3.
7.(2014重庆一中高三下学期第一次月考,16)若关于实数 的不等式 无解,则实数 的取值范围是          。
[答案] 7.  
[解析] 7.  当 时,可得 ,令t= ,欲使 无解,只需使 无解即可;只需 ,可得 ;当 时,对 也能使不等式 无解,综上可得 .
8. ( 2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,16) 若 的最小值为3, 则实数 的值是______________.
[答案] 8.  2或8
[解析] 8 .因为 ,即 ,解得 或 .
9. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试,12) 设函数 的图象关于点 中心对称,则 的值为_______.
[答案] 9. 或
[解析] 9.  由已知可得 ,解得 .
10. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题,15) 若关于 的不等式 的解集为 ,则实数 的取值范围是_________.
[答案] 10.
[解析] 10.  由绝对值的几何意义知 ,要不等式 的解集为 ,所以实数 的取值范围是 .
11.(2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,15(2) )(不等式选讲选做题)对于任意实数 ,不等式 恒成立时,若实数 的最大值为3,则实数 的值为             .
[答案] 11.(2)答案  4或-8
[解析] 11.  由题意可得 的最小值为3,当 时, ,由此可知当 时其有最小值,由题意得 ,解得 ;当 时, ,由此可知当 时其有最小值,由题意得 ,解 得 ;综上可得m可取4或-8.
12.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,15(2))(不等式选做题)在实数范围内,不等式 的解集为          .
[答案] 12.  [-7,3]
[解析] 12.  不等式等价于 或 或 ,解得 [-7,3].
13.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,16)设函数f(x) 的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x D,都有x+k D,且f(x+k) > f(x) 恒成立,则称函数f(x) 为D上的“k型增函数” 。已知f(x) 是定义在R上的奇函数,且当x> 0时, ,若f(x) 为R上的“2014型增函数” ,则实数a的取值范围是______.
[答案] 13.  
[解析] 13.  ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时, ,
∴当x<0时,可得f(x) =-|x+a|+2a,又f(x)为R上的“2014型增函数” ,
(1)当x>0时,由定义有|x+2014-a|-2a>|x-a|-2a,即|x+2014-a|>| x-a|,其几何意义为到点a小于到点a-2014的距离,由于x>0故可知a+a-2014<0得a<1007;
(2)当x<0时,分两类研究,若x+2014<0,则有-|x+2014+a|+2a>-|x+a|+2a,即|x+a|>|x+2014+a|,其几何意义表示到点-a的距离小于到点-a-2014的距离,由于x<0,故可得-a-a-2014>0,得a<1007; 若x+2014>0,则有|x+2014-a|-2a>-|x+a|+2a,即|x+a|+|x+2014-a|>4a,其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2014的距离的和大于4a,当a≤0时,显然成立,当a>0时,由于|x+a|+|x+2014+a|≥|-a-a+2014|=|2a-2014|,故有|2a-2014|>4a,必有2014-2a>4a,解得 . 综上可得 .
14. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测,16) 若函数 的定义域为 ,则实数 的取值范围为         .
[答案] 14.  
[解析] 14.  据题意,不等式 恒成立,所以 .
又 ,所以 .
15.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 10) 已知函数 ,则不等式 的解集为   ▲   .
[答案] 15.  
[解析] 15.  当 时, ,
当 时, ,此时函数单调递增,
由 ,解得 ,由图象知,要不等式 成立,
则 ,即 ,故不等式 的解集为 .
 
16. (2014重庆七校联盟, 16) 在实数范围内,不等式的解集为       .
[答案] 16.  
[解析] 16.  由,则 ,即 , ,
故不等式的解集为 .
17. ( 2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 15C) (不等式选做题) 不等式 对任意实数  恒成立,则实数 的取值范围为_________________.
[答案] 17.  
[解析] 17.   , ,解得 .
18.(2014福建,21(3),7分) (3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲
已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.
[答案] 18.查看解析
[解析] 18.(Ⅰ)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,
所以f(x)的最小值等于3,即a=3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2
=(p+q+r)2=9,
即p2+q2+r2≥3.
19.(2014江苏,21(D),10分)[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
[答案] 19.查看解析
[解析] 19.因为x>0,y>0,
所以1+x+y2≥3 >0,
1+x2+y≥3 >0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3 •3 =9xy.
20.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲
设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ .
[答案] 20.查看解析
[解析] 20.(Ⅰ)f(x)=
当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤ ,故1≤x≤ ;
当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M= .
(Ⅱ)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16 ≤4,
解得- ≤x≤ .
因此N= ,故M∩N= .
当x∈M∩N时, f(x)=1-x,于是x2f(x)+x•[f(x)]2
=xf(x)[x+f(x )]=x•f(x)=x(1-x)= -  ≤ .
21.(2014课标全国卷Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
设函数f(x)= +|x-a|(a> 0).
(Ⅰ)证明:f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
[答案] 21.查看解析
[解析] 21.(Ⅰ)由a>0,得f(x)= +|x-a|≥ = +a≥2.
所以f(x)≥2.
(Ⅱ)f(3)= +|3-a|.
当a>3时,f(3)=a+ ,由f(3)<5得3<a< .
当0<a≤3时,f(3)=6-a+ ,由f(3)<5得 <a≤3.
综上,a的取值范围是 .
22.(2014课表全国Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲
若a>0,b>0,且 + = .
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
[答案] 22.查看解析
[解析] 22.(Ⅰ)由 = + ≥ ,得ab≥2,且当a=b= 时等号成立.
故a3+b3≥2 ≥4 ,且当a=b= 时等号成立.
所以a3+b3的最小值为4 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2a+3b≥2 ≥4 .
由于4 >6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
23. (2014山西太原高三模拟考试(一),24) 选修4—5:不等式选讲
    已知函数
    (I) 解不等式 ;
(Ⅱ)若存在x使得 成立,求实数 的取值范围.
[答案] 23.查看解析
[解析] 23.  
24. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),24) 不等式选讲:已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求不等式 的解集;
(Ⅱ)若 的解集包含 ,求 的取值范围.
[答案] 24.查看解析
[解析] 24.(Ⅰ)当 时,不等式 可化为 ,
①当 时,不等式为 ,解得 ,故 ;
②当 时,不等式为 ,解得 ,故 ;
③当 时,不等式为 ,解得 ,故 ;
综上原不等式的解集为 或 . (5分)
(Ⅱ)因为 的解集包含 ,
不等式可化为 ,解得 ,
由已知得 ,解得 ,
所以 的取值范围是 . (10分)
25. (2014河北唐山高三第一次模拟考试,24) 选修4-5: 不等式选讲
已知函数 .
    (Ⅰ)若当 时,恒有  ,求 的最大值;
    (Ⅱ)若当 时,恒有  求 的取值范围.
[答案] 25.查看解析
[解析] 25.(Ⅰ)若 ,所以 ,解得 ;
由 ,所以 ,所以 ,
依题意有, ,即 ,
故 的最大值为1.                        (6分)
(Ⅱ) ,
当且仅当 时等号成立.
解不等式 ,解得 ,
所以 的取值范围是 .        (10分)
26. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 24) 选修4-5:不等式选讲
设函数
(Ⅰ)当 =1时,求函数 ;
(Ⅱ)若 对任意的实数 恒成立,求实数 的取值范围.
[答案] 26.查看解析
[解析] 26.(Ⅰ)当 时,
 .       (5分)
(Ⅱ) 对任意的实数 恒成立  对任意的实数 恒成立 
当 时,上式成立;  
当 时,
当且仅当 即 时上式取等号,此时 成立.
综上,实数 的取值范围为 .       (10分)
27. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,24) 选修4-5:不等式选讲
  已知函数 .
  (Ⅰ)解不等式 ;
  (Ⅱ)若 ,且 ,求证: .
[答案] 27.查看解析
[解析] 27.  (Ⅰ)不等式的解集是 . (5分)
(Ⅱ)要证 ,只需证 ,
只需证
而 ,
从而原不等式成立. (10分)
28.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,24)选修4—5: 不等式选讲 已知函数 。
(1)若 的解集为 ,求实数 的值。
(2)当 且 时,解关于 的不等式 。
[答案] 28.查看解析
[解析] 28.
29.(2014河南豫东豫北十所名校 高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 24) 选修4-5: 不等式选讲
   设函数 .
   (I) 解不等式 ;
(Ⅱ) 若 对一切实数x均成立,求m的取值范围.
[答案] 29.查看解析
[解析] 29.
30.(2014周宁、政和一中第四次联考,21(3)) 选修4-5:不等式选讲
已知函数 , .
   (Ⅰ)若函数 的值不大于1,求 的取值范围;
   (Ⅱ)若不等式 的解集为R,求 的取值范围.
[答案] 30.查看解析
[解析] 30.  (Ⅰ)由题意, ,即 ,解得 ,
  的取值范围  .          (3分)
(Ⅱ)  ,
 对于 , ,
于是 ,即 ,
故 的取值范围是 .            (7分)
31. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列{an} 的前 项和为 ,满足 ,
且 , , 成等差数列.
     (Ⅰ)求 , , 的值;
     (Ⅱ)求证:数列 是等比数列
    (Ⅲ)证明:对一切正整数 ,有 .
[答案] 31.查看解析
[解析] 31.    解析  (Ⅰ)因为 , , 成等差数列,所以 ,
当 时, ,当 时, ,
解方程组得, , , .  (3分)
    (Ⅱ)由 ,得 ,
两式相减得 ,
  .
  ,所以 是首项为3,公比为3的等比数列.(7分)
(Ⅲ)由 ,又 ,  ,
  ,即 .
  ,
  ,
所以当 时, , , , ,
两边同时相乘得 ,
所以 .(12分)
32.  (2014吉林高中毕业 班上学期期末复习检测, 22) 已知函数 , .
    (Ⅰ)若函数 在其定义域内为单调函数,求 的取值范围;
    (Ⅱ) 若函数 的图像在 处的切线斜率为0,且
  ,( , ).
   证明:对任意的正整数n, 当 时,有 .
[答案] 32.查看解析
[解析] 32.    解析  (Ⅰ)函数 的定义域是
因为 所以有 所以 ,
 ,
①当 时, 恒成立,所以函数 在 上单调递减;     (3分)
②当 时,
若函数 在其定义域内 单调递增,则有 恒成立即 ,
因为  所以   且 时 不恒为0.
若函数 在其定义域内单调递减,则有 恒成立即 ,
因为 所以  
综上,函数 在定义域内单调时 的取值范围是  ,   (5分)
     (Ⅱ)因为函数 的图像在 处的切线斜率为0,所以
即 所以 ,所以 ,
 ,
令  ,
所以  ,  (7分)
当 是偶数时,因为 所以  ,
所以 ,
所以 即函数 在 单调递减,
所以 ,即  ,
当 是奇数时,令 则 ,
所以函数 在 单调递减,所以 ,
又因为 时 , 所以 ,
所以 即函数 在 单调递减 ,
所以 ,即 ,
综上,对任意的正整数n, 当 时,有 . (12分)
33. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 24) 选修4-5:不等式选讲
设函数 .
(Ⅰ)若 的最小值为3,求a值;
(Ⅱ)求不等式 的解集,
[答案] 33.查看解析
[解析] 33.    解析  (Ⅰ)因为
因为 , 所以当且仅当 时等号成立, 故
 为所求.       (4分)
    (Ⅱ)不等式 即不等式   ,
①当 时,原不等式可化为  即
所以,当 时,原不等式成立.
②当 时,原不等式可化为
即 所以,当 时,原不等式成立.
③当 时,原不等式可化为
即  由于 时
所以,当 时,原不等式成立.
综合①②③可知: 不等式 的解集为        (10分)
34. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 24) 已知函数
(Ⅰ)解不等式
(Ⅱ) 若 . 求证: .
[答案] 34.查看解析
[解析] 34.(Ⅰ) ,
当 时,由 ,解得 ;
当 时, 不成立;
当 时,由 ,解得 .
所以不等式 的解集为 或 .      (5分)
(Ⅱ) ,即 .
因为 ,所以 ,
 ,
所以 .故所证不等式成立.        (10分)
35.(2014兰州高三第一次诊断考试, 24) 选修4—5:不等式选讲
    (Ⅰ)已知 、 都是正实数,求证: ;
    (Ⅱ )若不等式 对满足 的一切正实数
 恒成立,求实数 的取值范围.
[答案] 35.查看解析
[解析] 35.  (Ⅰ)证明:由
       .
又 、 都是正实数,
所以 、 ,即
所以 .     (5分)
    (Ⅱ )根据柯西不等式有
  .
又 恒成立, ,
 或 ,即 或 ,
所以 的取值范围是 .    (5分)
36. (本题满分12分)设关于 不等式 的解集为 ,且 , .
(1) ,  恒成立,且 ,求 的值;
(2)若 ,求 的最小值并指出取得最小值时 的值.[
[解析] 36.(1) ,  ,
即 ,
 
  ,
又   .          (5分)
(2)
 ,
当且仅当 ,即 时上式取等号

所以, 的最小值是 ,取最小值时  .    (12分)
 

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