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2015高考数学(理)二轮复习推理与证明配套试题

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理数
1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
[答案] 1.A
[解析] 1.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.
2.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有(  )
A.2人B.3人C.4人D.5人
[答案] 2.B
[解析]  2.设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件 .因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.
3. (2014广东汕头普通高考模拟考试试题,8)设 )为平面直角坐标系上的两点,其中 . 令 ,  , 若 , 且 ,则称点B为点A的“相关 点” ,记作: , 已知 )为平面上一个定点,平面上点列 满足: = ,且点 的坐标为 ,其中 , 则点 的相关点” 有(  )个
A. 4      B. 6      C. 8      D. 10
[答案] 3.C
[解析] 3.  因为  为非零整数)故 或 ,所以点 的相关点有8个.
4.(2014陕西,15(B),5分)B.(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=________.
 
[答案] 4.3
[解析] 4.∵四边形BCFE内接于圆,∴∠AEF=∠ACB,
又∠A为公共角,∴△AEF∽△ACB,∴ = ,
又∵BC=6,AC=2AE.
∴EF=3.
5. (2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是________________.
[答案] 5.F+V-E=2
[解析] 5.观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分 别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2.
6.(2014课表全国Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我 没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
[答案] 6.A
[解析] 6.由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,因此三人去过同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.
7. (2014福州高中毕业班质量检测, 15) 已知函数  , 若数列 满足 , 且 的前 项和为 ,  =       .
[答案] 7.  8042
[解析] 7.  依题意, , ,
 , ,
 , ,
 , ,

所以 , ,
猜想 ,
所以  .
8. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试,14) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1, 2,3, 5,8, 13, 其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,该书咧是一个非常美丽和谐的 数列. 有很多奇妙的属性. 比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…,人们称该数列为“斐波那契数列”. 若把该数列 的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列 ,在数列 中第2014项的值为           ;数列 中,第2014个值为1的项的序号是        .
[答案] 8.  3   4027
[解析] 8.  因为 是周期为6的周期数列,前6项为:1,1,2,3,1,0,
所以第2014=6×335+4项的值是3;因为每个周期内含有三个1,2014=3×671+1,
所以第2014个值为1的项的序号是6×671+1=4027.
9. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,13) 已知 ,由不等式 ,
 ,   ,归纳得到推广结论: ,则实数 ________.
[答案] 9.
[解析] 9.  又已知不等式得到的推广结论 ,
得当 时 ;当 时 ;当 时 ;…;由归纳推理可知, .
10.(2014江西红色六校高三第二次联考理数试题,13)对任意正整数 ,定义 的双阶乘 如下:
当 为偶数时, ;当 为奇数时, `。现有四个命题:① ;② ;③ 个位数为0; ④ 个位数为5。其中正确命题的序号有______________.
[答案] 10.  ①③④
[解析] 10.  由定义可知  , ,所以 ,故①正确,②错误; ,所以其个位数为0,故③正确; , 为奇数,因为任何奇数乘以5,各位都为5,所以 的个位数为5,故④正确.
11.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,1 1)观察下列不等式:① ;② ;③ ;…则第 个不等式为   .
[答案] 11.  
[解析] 11.  观察可得不等式左边的分母被开方数满足6-2、12-6成等差数列,不等式右边1,2, 3也成等差数列,所以第5个不等式为 .
12.(2014湖北武汉高三2月调研测试,13) 如下图①②③④所示,它们都是由小正方形组成的图案.现按同样的排列规则进行排列,记第n个图形包含的小正方形个数为f(n) ,则
(Ⅰ)f(5) =     ;
(Ⅱ)f(n) =    .
 
[答案] 12.  (1)41;(2)2n2-2n+1
[解析] 12.  (1)
(2)
 =
13. (2014广东,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
[答案] 13.查看解析
[解析] 13.(1)依题有
解得a1=3,a2=5,a3=7.
(2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①
∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②
①-②并整理得an+1= .
由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.
当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;
假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.
则当n=k+1时,ak+1=
=
=2k+3=2(k+1)+1,
即当n=k+1时,结论成立.
综上,∀n∈N*,an=2n+1.
14. (2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf (x),x≥0,其中f (x)是f(x)的导 函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
[答案] 14.查看解析
[解析] 14.由题设得,g(x)= (x≥0).
(Ⅰ)由已知,g1(x)= ,g2(x)=g(g1(x))= = ,
g3(x)= ,…,可得gn(x)= .
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,g1(x)= ,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即gk(x)= .
那么,当n=k+1时,
gk+1(x)=g(gk(x))= = = ,
即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥ 恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)- (x≥0),
即φ(x)= - = ,
当a≤1时,φ(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
∴a≤1时,ln(1+x)≥ 恒成立(仅当x=0时等号成立).
当a>1时,对x∈(0,a -1]有φ(x)<0,∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0.
即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥ 不恒成立,
综上可知,a的取值范围是(-∞,1].
(Ⅲ)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)= + +…+ ,
n-f(n)=n-ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).
证明如下:
证法一:上述不等式等价于 + +…+ <ln(n+1),
在(Ⅱ)中取a=1,可得ln(1+x)> ,x>0.
令x= ,n∈N+,则 <ln .
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时, <ln 2,结论成立.
②假设当n=k时结论成立,即 + +…+ <ln(k+1).
那么,当n=k+1时,
 + +…+ + <ln(k+1)+ <ln(k+1)+ln =ln(k+2),
即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
证法二:上述不等式等价于 + +…+ <ln(n+1),
在(Ⅱ)中取a=1,可得ln(1+x)> ,x>0.
令x= ,n∈N+,则ln > .
故有ln 2-ln 1> ,
ln 3-ln 2> ,
……
ln(n+1)-ln n> ,
上述各式相加可得ln(n+1)> + +…+ .
结论得证.
证法三:如图, dx是由曲线y= ,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而 + +…+ 是图中所示各矩形的面积和
∴ + +…+ > dx= dx=n-ln(n+1),
结论得证.
 
15.(2014安徽,21,13分)设实数c>0,整数p>1,n∈N*.
(Ⅰ)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px;
(Ⅱ)数列{an}满足a1> ,an+1= an+ .证明:an>an+1> .
[答案] 15.查看解析
[解析] 15.(Ⅰ)证明:用数学归纳法证明:
①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.
②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.
当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.
所以p=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.
(Ⅱ)证法一:先用数学归纳法证明an> .
①当n=1时,由题设a1> 知an> 成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak> 成立.
由an+1= an+ 易知an>0,n∈N*.
当n=k+1时, = + =1+ .
由ak> >0得-1<- < <0.
由(Ⅰ)中的结论得 = >1+p• = .
因此 >c,即ak+1> .
所以n=k+1时,不等式an> 也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式an> 均成立.
再由 =1+ 可得 <1,即an+1<an.
综上所述,an>an+1> ,n∈N*.
证法二:设f(x)= x+ x1-p,x≥ ,则xp≥c,并且
f (x)= + (1-p)x-p= >0,x> .
由此可得, f(x)在[ ,+∞)上单调递增.
因而,当x> 时, f(x)>f( )= ,
①当n=1时,由a1> >0,即 >c可知
a2= a1+ =a1 <a1,并且a2=f(a1)> ,从而a1>a2> .
故当n=1时,不等式an>an+1> 成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak>ak+1> 成立,则
当n=k+1时, f(ak)>f(ak+1)>f( ),即有ak+1>ak+2> .
所以n=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>an+1> 均成立.
16.(2014江苏,23,10分)已知函数f0(x)= (x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.
(1)求2f1 + f2 的值;
(2)证明:对任意的n∈N*,等式 = 都成立.
[答案] 16.查看解析
[解析] 16.(1)由已知,得f1(x)=f 0(x)= = - ,
于是f2(x)=f 1(x)= - =- - + ,
所以f1 =- , f2 =- + .
故2f1 + f2 =-1.
(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf 0(x)=cos x,
即f0(x)+xf1(x)=co s x=sin ,类似可得
2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),
3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin ,
4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).
下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin 对所有的n∈N*都成立.
(i)当n=1时,由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin .
因为[kfk-1(x)+xfk(x)]=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x), =cos • =sin ,
所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin .
因此当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin 对所有的n∈N*都成立.
令x= ,可得nfn-1 + fn =sin (n∈N*).
所以 = (n∈N*).
17.(2014北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.
(Ⅰ)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;
(Ⅱ)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P)的大小;
(Ⅲ)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)
[答案] 17.查看解析
[解析] 17.(Ⅰ)T1(P)=2+5=7,
T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.
(Ⅱ)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},
T2(P)=max{c+d+b,c+a+b}.
当m=a时,T2(P)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.
因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P).
当m=d时,T2(P)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.
因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P).
所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P)都成立.
(Ⅲ)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.
18. (2014北京东城高三第二学期教学检测,20) 在数列 , 中, , ,且 成等差数列, 成等比数列( ).
(Ⅰ)求 , , 及 , , ,由此归纳出 , 的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明: .
[答案] 18.查看解析
[解析] 18.(Ⅰ)由条件得 ,
由此可得 .
猜测 . (4分)
用数学归纳法证明:
①当 时,由上可得结论成立.
②假设当 时,结论成 立,即 ,
那么当 时,
 .
所以当 时,结论也成立.
由①②,可知 对一切正整数都成立. (7分)
(Ⅱ)因为 .
当 时,由(Ⅰ)知 .
所以
 
 
 .
综上所述,原不等式成立. (12分)
19.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,21)已知函数 .
(1)当 时,证明对任意的  ;
(2)求证:  .
(3)若函数 有且只有一个零点,求实数 的取值范围.
[答案] 19.查看解析
[解析] 19. (2)根据(1)的结论,当 时, ,即 .
令 ,则有 ,      ………………………7分
 .即   .…8分
(本问也可用数学归纳法证明.)
 ③当 时, ,设 的两根分别为 与 ,
则 , ,不妨设
当 及 时, ,当 时, ,
所以函数 在 上递增,在 上递减,

所以 时, ,且
因此函数 在 有一个零点,而在 上无零点;
此时函数 只有一个零点;
综上,函数 只有一个零点时,实数a的取值范围为R.………………………14分
20.(2014湖北武汉高三2月调研测试,22)
(Ⅰ)已知函数f(x) =ex-1-tx,∃x0∈R,使f(x0) ≤0,求实数t的取值范围;
 
[答案] 20.查看解析
[解析] 20.(Ⅰ)
若t=0,f (x) =ex-1>0,不合题意;
若t>0,只需f(x) min≤0.
求导数,得f ′(x) =ex-1-t.
令f ′(x) =0,解得x=lnt+1.
当x<lnt+1时,f ′(x) <0,∴f(x) 在(-∞,lnt+1) 上是减函数;
当x>lnt+1时,f ′(x) >0,∴f(x) 在(lnt+1,+∞) 上是增函数.
故f(x) 在x=lnt+1处取得最小值f(lnt+1) =t-t(lnt+1) =-tlnt.
∴-tlnt≤0,由t>0,得lnt≥0,∴t≥1.
综上可知,实数t的取值范围为(-∞,0) ∪[1,+∞) .…………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知f(x) ≥f(lnt+1) ,即ex-1-tx≥-tlnt.
取t=1,ex-1-x≥0,即x≤ex-1.
当x>0时,lnx≤x-1,当且仅当x=1时,等号成立,
故当x>0且x≠1时,有lnx<x-1.
 
 
 
21. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),21) 设函数 .
    (Ⅰ)求函数 的单调区间
    (Ⅱ) 若函数 有两个零点 , ,且 ,求证: [来源:Zxxk.Com]
[答案] 21.查看解析
[解析] 21.  (Ⅰ)     ,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
所以函数 的单调递增区间为  ,  (4分)
当 时,由 ,得 ;由 ,得
所以函数的单调增区间为 ,单调减区间为    ,    (6分)
    (Ⅱ) 因为 是函数 的两个零点,有
则 ,
两式相减得
即 
所以  ,
又因为 ,当 时, ;当 时,
故只要证 即可,即证明  ,  (10分)
即证明 ,
即证明 ,
设  . 令 ,
则  ,因为 ,所以 ,当且仅当 时,
所以 在 是增函数;又因为 ,所以当 时, 总成立.
所以原题得证.        (13分)
22. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 若数列 满足:对任意 ,只有有限个正整数m使得 成立,记这样的m的个数为 ,则得到一个新数列 . 例如,若数列 是1,2,3……,n……,则数列 是0,1,2,……,n-1……. 已知对任意的 ,an=n2,则 =       , =          .
[答案] 22.  2  
[解析] 22.    ,而 , ,2, ,
 , , , ,

本文来源:http://www.doubiweb.com/wmgw/772116.html