【www.doubiweb.com--其他演讲】
福州一中2014-2015学年高三校质检试卷
理 科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V= Sh
其中 为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D． （第1题图）
2.若 （ 为虚数单位），则 的值为
A. B. C. D.
3.设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线为 ，则该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
4.已知公差不为 的等差数列 满足 成等比数列， 为数列 的前 项和，
则 的值为
A． B． C． D．
5.下列判断不正确的是
A．若 ，则
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等
6.函数 的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
7．设点（ ）是区域 内的任意一点，则函数 在区间 上是增函数的概率为
A． B． C． D．
8.如图，在棱长均为 的四棱锥 中，点 为
的中点，则下列命题正确的是（ ）
A． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
B． ∥平面 ，且直线 到平面 的距离为
C. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角大于 第8题图
D. 与平面 不平行，且直线 与平面 所成的角小于
9．称 为两个向量 间的“距离”.若向量 满足：
① ； ② ； ③对任意的 ，恒有 ．
则以下结论一定成立的是
A． B． C． D．
10．已知抛物线 ： ，圆 ： （其中 为常数， ）.过点 的直线 交圆 于 、 两点，交抛物线 于 、 两点，且满足 的直线 有且只有三条的必要条件是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11．若 ．
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．
13．在 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时
该物体位于 点，一分钟后，其位置在 点，且 ，
再过两分钟后，该物体位于 点，且 ，
则 的值为 ．
14．在 的二项展开式中，含 的奇次幂的项之和为 ，则当 时， 等
于 ．
15．已知 为 上的任意实数，函数 ， ， ．
则以下结论：
①对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
②对于任意 ，总存在 ， ，使得 ；
③对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ；
④对于任意的函数 ， ，总存在 ，使得 ．
其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 58 55 76 92 88
乙 65 82 87 85 95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为 ，求随机变量 的分布列和期望 ．
17．（本小题满分13分）
如图，四边形 与 均为菱形，设 与
相交于点 ，若 ，且 .
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
18．（本小题满分13分）
设 ，函数 ，且 ．
（Ⅰ）求 的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
且 ，求 的取值范围．
19．（本小题满分13分）
已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异
于 ， 的动点，且 面积的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当直线 绕点 转动时，试判断以 为直径的圆与直线 的位置关系，并加以证明．
20．（本小题满分14分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（Ⅱ）判断函数 的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列 满足： ， ，且 ．若不等式 在 时恒成立，求实数 的最小值.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵 的一个特征值 所对应的特征向量为 .
（Ⅰ）求矩阵 的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线 ： 在矩阵 对应变换作用下得到的新的曲线方程.
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）将直线 的参数方程和圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 和曲线 相交于 、 两点，求 的长.
（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知正数 ， ， 满足 ．
（Ⅰ）求 的最大值 ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D B C D B D
一、选择题：
二、填空题：
11. 12. 13. 14. 15. ①④
选择题10简解：依题意可设直线 ： ，（1）代入 ，得 ，△= ，把（1）代入 得 ，
设 ， ， ， ，
，即 ，
若 ，则 ， .
若 ，则 ，即 ，
即 ，故当 时， 有三条．从而本题应该选D.
三、解答题：
16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分
（Ⅱ）随机变量 的所有可能取值为 ．
， ，
，…………………10分
随机变量 的分布列是：
．…………………………………………………13分
17.（I）证明：因为四边形 与 均为菱形，
所以 ， .
因为 ， ，
所以 ， …………………………………………………2分
又 ， ， ，
所以 又 ，
所以 …………………………………………………………………………4分
（II）连接 、 ,因为四边形 为菱形，且 ，
所以 为等边三角形，
因为 为 中点.所以 ，
又因为 为 中点,且 ，
所以
又 ，所以 ………………………………………………6分
由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
设 ，因为四边形 为菱形， ，
则 ， ， ，所以
…8分
所以 设平面 的一个法向量为 ，则有 ,所以 ，
令 ，则 …………………………………………………………………10分
因为 ，所以平面 的一个法向量为 .
因为二面角 为锐二面角，设二面角的平面角为 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为 …………………………………………………13分
18．解：（I） …………2分
由 得： ，∴ …………………………………4分
∴ ……………………………………………5分
由 得： ，
∴ 的单调递减区间为： ， ………………………………7分
（II）∵ ，由余弦定理得： ，
……………………………………………………………………………………………8分
即 ，由正弦定理得：
，
， ，∴ …………………………11分
∵△ 锐角三角形，∴ ， …………………………12分
∴ 的取值范围为 ． …………………………………………13分
19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆 的方程为 ， ．
由题意知 解得 ， ．
故椭圆 的方程为 .…………………………………………………………4分
（Ⅱ）以 为直径的圆与直线 相切．…………………………………………………5分
证明如下：由题意可设直线 的方程为 .
则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ．
由 得 ．
设点 的坐标为 ，则 ．
所以 ， ． ……………………………8分
因为点 坐标为 ，
当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
直线 轴，此时以 为直径的圆 与直线 相切．
……………………………………………………………………………………………9分
当 时，则直线 的斜率 .
所以直线 的方程为 ．………………………………………10分
点 到直线 的距离 ．
又因为 ，所以 ．
故以 为直径的圆与直线 相切．
综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切．………13分
20. 解:（Ⅰ） ，……………………………1分
，又 ，
所以函数 在 的切线方程为 ，
即 .……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）
当 时， 所以 在 单调递减；
当 时， 所以 在 单调递增；
所以 时， .……………………………………………5分
①当 ，即 时， 的零点个数为0；
②当 ，即 时， 的零点个数为1；
③当 即 时，此时 ， ，
（或 ）
因为 在定义域上连续，由零点存在定理及 的单调性，
知 在 有且只有一个零点， 在 有且只有一个零点，
所以 时， 的零点个数为2.
综上所述，当 时， 的零点个数为2； 时， 的零点个数为1； 时， 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分
(Ⅲ) 当 时，有 .
所以 .………………………10分
接下来证明: .
由(I)知，函数 在 的切线方程为 .
而当 时， 成立.
所以，当 时,有 ………………12分
所以，
所以，当 时， 的最大值为 .
再由(II)知， 得
所以 的最小值为 .……………………………………………………………14分
21．解：（1）（Ⅰ）依题意， ， ，所以 ， .…2分
所以 .因为 ，所以 .………………………………4分
（Ⅱ）曲线 ： 上任意一点 在矩阵 对应变换作用下
得到 ，则 ，得 ，即 ，
代入方程 得 .
因此，曲线 在矩阵 对应变换作用下得到的新的曲线方程为 .…………7分
（2）（Ⅰ）由 ，得直线 的直角坐标方程为： .………………2分
由 ，得 ，
，得曲线 的直角坐标方程为： .……4分
（Ⅱ）圆心 到直线 的距离 ，圆的半径 ,
.……………………………………………………7分
（3）（Ⅰ）由柯西不等式， ，
即有 ，……………………………………………………………………2分
又 、 、 是正数，
即 的最大值为6，
当且仅当 ，即当 时取得最大值．……………………………4分
（Ⅱ）因为 ，
由题意及（Ⅰ）得， ，得 或 .
综上，实数 的取值范围为 或 .……………………………………………7分
上一篇：2015高考理综“最后一卷”