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试卷类型：A
肇庆市中小学教学质量评估
2014—2015学年第二学期统一检测试题
高二数学（文科）
本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室
号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域
内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液，不按以 上要求作答的答案无效。
参考公式：线性回归方程 中系数计算公式：
， ，其中 ， 表示样本均值.
列联表随机变量 . 与k对应值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设 ，则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知 ，则
A． B． C． D．
3．若复数 是纯虚数，则实数a的值为
A．3 B．-3 C．1 D．-1或3
4．在曲线 上切线的斜率为3的点是
A．（0，0） B．（1，1） C ．（-1，-1） D．（1，1）或（-1，-1）
5．否定“自然数 中恰有一个奇数”时正 确的反设为
A． 都是奇数 B． 都是偶数
C． 中至少有两个偶数 D． 都是偶数或至少有两个奇数
6．下列函数 中，满足“对任意 ，当 时，都有 ”的是
A． B． C． D．
7．复数 的共轭复数是
A． B． C． D．
8．函数 的单调递增区间为
A． 与 B． C．（0，1） D．（1，+∞）
9．
A． B． C． D．
10．把一段长为12的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
A． B． C． D．4
11．若不等式 的解集为空集，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数a的取值范围是
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（-∞，-1） D．（-∞，-2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．计算 ▲ .
14．一物体的运动方程为 ，则其在 ▲ 时的瞬时速度为1.
15．若复数 ，且 ，则实数a的取值范围是 ▲ .
16．数列 满足 ， ，则 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线C的参数方程为 （ 为参数）.
（1）求直线 和曲线C的普通方程；
（2）求直线 和曲线C的公共点的坐 标.
18．（本小题满分12分）
某产品的广告费用支出 与销售额 （单位：百万元）之间有如下的对应数据：
/百万元
2 4 5 6 8
/百万元
30 40 60 50 70
（1）求 与 之间的回归直线方程；（参考数据： ， ）
（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？
19.（本小题满分12分）
随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下 列联表：
读营养说明 不读营养说明 合计
男 16 4 20
女 8 12 20
合计 24 16 40
（1）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”？
（2）若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，在四面体 中， 平面 ， . 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）证明：BC⊥CM；
（2）证明： 平面 .
21．（本小题满分12分）
已知数列 满足 ， .
（1）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）证明 .
22．（本小题满分12分）
已知函数 （ ）， 是 的导函数.
（1）当 时，对于任意的 ， ，求 的最小值；
（2）若存在 ，使 ，求 的取值范围.
2014—2015学年第二学期统一检测题
高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D D A B C D A C D
二、填空题
13． 14． 15．（-3，1） 16．
三、解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）由直线 的参数方程为 （ 为参数），得 ，代入 ，得直线 的普通方程为 . （3分）
由曲线C的参数方程为 （ 为参数），得 ，代入 ， 得曲线C的普通方程 . （6分）
（2）由题意，得 解得 或 . （8分）
故直线 和曲线C的公共点的坐标为 . （10分）
18．（本小题满分12分）
解：（1） ， （1分）
， （2分）
， （3分）
， （4分）
， （6分）
， （8分）
所以回归直线方程为 . （9分）
（2）当x=10时， （百万元），即当广告费用支出为1千万元时，销售额是8.25千万元. （12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）因为 ， （3分）
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“性别与是否读营养说明之间有关系”.
（5分）
（2）男生抽取的人数有： （人） （6分）
女生抽取的人数有： （人） （7分）
（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，设为a，b；女生抽取的人数为1人，设为c；则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c）共3种. （9分）
其中满足条件的基本事件有：（a，c），（b，c）共2种， (11分)
所以，恰有一男一女的概率为 . （12分）
20．（本小题满分12分）
证明：（1）因为AD⊥平面BCD，BC平面BCD，
所以BCAD. （1分）
又BC⊥CD，且CD、AD平面ACD，CD∩AD=D，
所以BC平面ACD. （2分）
又CM平面ACD， （3分）
所以平面BCCM. （4分）
（2）取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF. （5分）
因为P、E分别是BM、BD的中点，所以PE为△BDM的中位线， （6分）
所以PE//DM，且 ，即PE//AD，且 . （7分）
在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，
所以QF//AD，且 . （9分）
所以PE//QF，且PE=QF，故四边形EFQP为平行四边形. （10分）
所以PQ//EF. （11分）
又EF平面BCD，PQ平面BCD，所以PQ//平面BCD. （12分）
21．（本小题满分12分）
证明：（1）由 ，得 ， （2分）
又 ，所以 是首项为 ，公比为3的等比数列. （4分）
故 ，即 . （6分）
（2）由（1），得 .
因为当 时， （ ）， （8分）
所以 . （9分）
因此 . （11分）
故 . （12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）当 时， ， . （1分）
令 ，得 . （2分）
当 时， ，所以 在（-1，0）上单调递减；
当 时， ，所以 在（0，1）上单调递增；
所以对于 ， 的最小值为 . （3分）
因为 的开口向下，且对称轴为 ，所以对于 ， 的最小值为 . （4分）
故 的最小值为-11. （5分）
（2） . （6分）
①若 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，又 ，则当 时， . 所以当 时，不存在 ，使 . （8分）
②若 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时， ，所以 在 上单调递减；
故当 时， . （10分）
依题意 ，解得 . （11分）
综上， 的取值范围是 . （12分）