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3. 4生活中的优化问题测试
1．一点沿 直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为 ，那么速度为零的时刻是 （ ）
A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06 －0.15 和L2=2 ，其中 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ ）
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
3.路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min
的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直
线离开路灯，则人影长度的变化速率为（ ）
A． B． C． D．21
4.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车
向北行驶，速率为30 km/h,B车向东行驶，速率为40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率为 ．
A. B.60 km/h C.80 km/h D.65 km/h
5．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为 ．
6．用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当该容器的高为 cm时,容器的容积最大，最大容积是
7．当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候, 细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.
(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度；(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?
8．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 （吨）与每吨产品的价格 （元/吨）之间的关系式为： ,且生产x吨的成本为 （元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
9．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费3 0元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
10．甲、乙两个工厂，甲厂位 于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 k m的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3 元和5 元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
利用导数解决生活中的优化问题60分钟测试答案
1．D． 2.B. 3.B. 4. 50 km/h．5. 和 ． 6．10，1960．
7．解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,
b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0, b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,
即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000.
(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,由-2 000t+10 000<0,得t>5,
即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少.
8．解：每月生产 吨时的 利润为
由 解得： 或 （舍去）．因为 在 内只有一个点 使得 ，故它就是最大值点，且最大值为：
， 故它就是最大值点，且最大值为： （元）
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大 利润为315万元.
9．解：设每次进书x千册 ，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即 ，故有
15
y 极小值
30＋ 40， ，令y′＝0，得x ＝15，列表如右：
所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，
故当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为 （次）．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
10．解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－ ,∴BC=
又设总的水管费用为y元，依题意有： =3 (50－x)+5
y′=－3 + ,令y′=0,解得 =30
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在 =30(km)处取得最小值，此时AC=50－ =20(km)
∴供水站建在A、 D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
解法二：设∠BCD= ,则BC= ,CD= ,
设总的水管费用为f(θ),依题意，有
(θ)=3 (50－40•cotθ)+5 =150 +40 •
∴ (θ)=40
令 (θ)=0,得cosθ=
根据问题的实际意义，当cosθ= 时，函数取得最小值，此时sinθ= ,∴cotθ= ,
∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最 省.