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北大附中河南分校2015-2016学年上学期九月考试试卷
高二数学
考试时间120分钟 满分 150分
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
1.已知全集U=R,实数a、b满足 ,则集合 等于( )
A. B.
C. D.
2.若数列 的前n项和 则 等于( )
A 18 B 19 C 20 D 21
3.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
4.下列命题
①命题“若 ,则 ”的逆否命题是“若 ,则 ”.
②命题
③若 为真命题,则 、 均为真命题.
④“ ”是“ ”的充分不 必要条件.
其中真命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是数列{an}的前n项和,
则( )
(A)S5>S6 (B)S5<S6 (C)S6=0 (D)S5=S6
6. 已知变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x-y的取值范围是( )
(A)[- ,6] (B)[- ,-1] (C)[-1,6] (D)[-6, ]
7.已知a>0,b>0,a+b=2,则 的最小值是( )
(A) (B)4 (C) (D)5
8. 等比数列{an}中,若log2(a2a98)=4,则a40a60等于( )
(A)-16 (B)10 (C)16 (D)256
9.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)且a 2+a4+a6=9,则 的值是( )
(A)-5 (B)- (C)5 (D)
10. 已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )
11.在 中,已知 ,最大边与最小边的比为 ,则三角形的最大角为( )
A B C D
12. 以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是( )
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
13. 已知F1,F2分别是椭圆 (a>b>0)的左、右焦点,以原点O为圆心,OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率等于 ________________
.14 ..过抛物线 的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点,交准线于点C 若 ,则直线AB的斜率为________________
15.若当 x>1时不等式 恒成立,则实数m的取值范围是______.
16. 有下列命题
①若 ,则 ;
②直线 的倾斜角为45°,纵截距为-1;
③直线 与直线 平行的充要条件是 且 ;
④当 且 时, ;
⑤到坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 ;
其中真命题的是_______________
三、解答题:(本大题共5小题,满分60分. 解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
17. (本小题满分10分)
在 中, 角A、B、C的对边分别为 、 、 .若 的外接圆的半径 ,且 , 分别求出B和b的大小.
18.(本小题满分12分)
等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列{bn}满足 其前n项和为Tn,求证: (n∈N*).
19.(本小题满分12分)设{an}是等差数列,{bn} 是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{ }的前n项和Sn.
20.(本小题满分12分)已知集合A={y|y=x2- x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
21. (本小题满分12分) 已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为 且过点
(1)求双曲线的方程.
(2) 若点M(3,m)在双曲线上,求证: =0.
(3)求△F1MF2的面积.
22. (本小题满分12分)设F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求 的最大值和最小值;
(2)设过定点M(0,2)的直线 与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线 的斜率 的取值范围.
宇华教育集团焦作校区2015-2016学年上学期九月考试试卷
高二数学(适用宏志班)参考答案
一.选择题:
1D 2B 3C 4C 5 D 6A 7C 8C 9A 10 B 11A 12C
二.填空题:13 ; 14 ; 15. 16. ②③
三.解答题
17. 由正弦定理: 得 ,
, .
代入 得 .
整理得
即
又
18.(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11,
2a3=a2+a6-4,
即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得d=2,
则a1=1,故an=2n-1.
(2)由(1)得Sn=n2,∴
=
= ,
= .
19.(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则依题意有q>0且 解得
所以an=1+(n-1)d=2n-1, bn=qn-1=2n-1.
(2) ,
, ①
2Sn= ②
②-①,得Sn=
=2+2× ,
= .
20. y=x2- x+1=(x- )2+ ,∵x∈[ ,2],∴ ≤y≤2,
∴A={y| ≤y≤2}. 由x+m2≥1,得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2}.∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,
∴1-m2≤ ,解得m≥ 或m≤- ,
故实数m的取值范围是(-∞,- ]∪[ ,+∞).
21. (1)∵e= ∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵过点P ∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2 =6.
(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=
∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.
故 ∴MF1⊥MF2.
方法二:∵ = ,
∴ =
∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|= △F1MF2的边F1F2上的高h=|m|= ,
22.解法一:
(1 )易知 , , 所以 , ,设P ,则
因为 ,
故当 ,即点P为椭圆短轴端点时, 有最小值-2;
当 ,即点P为椭圆长轴端点时, 有最大值1.
解法二:
(1)易知 , , ,
所以 , ,设P ,则
(以下同解法一).
(2)显然直线 不满足题设条件.
可设直线 : ,A( ),B( )
联立 ,消去 ,整理得:
∴ ,
由 得: 或 ①
又
∴
又
∵ ,即 ,∴ ②
故由①②得 或 .