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课时提升作业(二十二)
圆的标准方程
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.圆 +(y-3)2=6的圆心和半径分别是( )
A. ，6 B. ，
C. ， D. ，6
【解析】选B.易知圆心坐标为 ，半径r= .
2.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点，则( )
A.a2-b2=0 B.a2+b2=r2
C.a2+b2+r2=0 D.a=0，b=0
【解析】选B.因为圆过原点，所以(0，0)满足方程，
即(0-a)2+(0-b)2=r2，
所以a2+b2=r2.
3.(2014•泰安
高一检测)若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值范围是( )
A.(-1，1) B.
C. D.
【解析】选D.由(5a+1-1)2+(12a)2<1得
25a2+144a2<1，a2< ，
所以- <a< .
4.(2014•广州
高一检测)已知定点A(0，-4)，O为坐标原点，以OA为直径的圆C的方程是( )
A.(x+2)2+y2=4 B.(x+2)2+y2=16
C.x2+(y+2)2=4 D.x2+(y+2)2=16
【解析】选C.由题意知，圆心坐标为 (0，-2)，半径r=2，其方程为x2+(y+2)2=4.
5.(2014•石家庄
高一检测)圆(x+2)2+y2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程是
( )
A.(x-2)2+y2=5
B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=25
D.x2+(y+2)2=25
【解析】选A.圆心(-2，0)关于原点对称的点为(2，0)，所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.
【举一反三】本题中圆的方程不变，则其关于y轴对称的圆的方程为____________.
【解析】圆心(-2，0)关于y轴对称的点为(2，0)，
所以已知圆关于y轴对称的圆的方程为(x-2)2+y2=5.
答案：(x-2)2+y2=5
6.(2014•西安
高一检测)已知点A(5 +1， )与圆(x-1)2+y2=26，当0<a<1时，点A与圆(x-1)2+y2=26的位置关系是( )
A.A在圆上
B.A在圆内
C.A在圆外
D.A与圆的位置关系不确定
【解析】选B.圆心为M(1，0)，
|AM|= = = .
又因为0<a<1，所以0<26a<26，
所以0<|AM|< =r，
所以A在圆内.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7. (2014•广州
高一检测)若点P(-1， )在圆x2+y2=m2上，则实数m=________.
【解析】因为P在圆上，所以(-1)2+( )2=m2，
所以m2=4，m=±2.
答案：±2
8.(2014•南京
高一检测)圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________.
【解析】由 解得
所以圆心为(2，4)，
半径r= = .
所以圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
答案：(x-2)2+(y-4)2=20
9.圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y= x的距离为____________.
【解题指南】将直线化为一般式，利用点到直线的距离公式求解.
【解析】直线y= x可化为 x-3y=0，圆的圆心为(1，0)，所以d= = .
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.求经过点A(1，4)，B(3，-2)，且圆心到直线AB的距离为 的圆的方程.
【解题指南】(1)圆心在AB的垂直平分线上.
(2)r= .
【解析】设圆心为(a，b)，半径为r.
由题意知AB中点为(2，1).
•kAB=-1，所以a-3b+1=0①，
又(a-2)2+(b-1)2=10②，
①②联立方程组，解得 或
又r= = ，
所以圆的方程为(x+1)2+y2=20
或(x-5)2+(y-2)2=20.
【变式训练】圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0，-4)，B(0，-2)，则圆C的标准方程为____________.
【解析】结合题意可知，圆心在直线y=-3上，
又圆心在直线2x-y-7=0上，故圆心坐标是(2，-3)，从而r2=(2-0)2+(-3+2)2=5，圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=5.
答案：(x-2)2+(y+3)2=5
11.(2014•中山
高一检测)求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程.
【解析】设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，依题意得：b=3a且|b|=r，
圆心到直线x-y=0的距离d= ，
由“r，d，半弦长”构成直角三角形，得r2-d2=7，
解得：a=±1，
当a=1时，圆心为(1，3)，半径为r=3，所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9；
当a=-1时，圆心为(-1，-3)，半径为r=3，
所求圆的方程为(x+1)2+(y+3)2=9；
综上所述，所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014•济南
高一检测)△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则该三角形外接圆方程是( )
A.(x-2)2+(y-2)2=20
B.(x-2)2+(y-2)2=10
C.(x-2)2+(y-2)2=5
D.(x-2)2+(y-2)2=
【解析】选C.易知△ABC是直角三角形，∠B=90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r= ，所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
2.已知圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )
A.(x-2)2+y2=13 B.(x+2)2+y2=17
C.(x+1)2+y2=40 D.(x-1)2+y2=20
【解题指南】根据题意设圆心坐标为C(a，0)，由|AC|=|BC|建立关于a的方程，解之可得a，从而得到圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程.
【解析】选D.因为圆心在x轴上，
所以设圆心坐标为C(a，0)，
又因为圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，
所以r=|AC|=|BC|，可得 = ，解得a=1，
可得半径r= = =2 ，
所以圆C的方程是(x-1)2+y2=20.
3.(2014•潍坊
高一检测)已知实数x，y满足x2+y2=9(y≥0)，则m= 的取值范围是( )
A.m≤- 或m≥ B.- ≤m≤
C. m≤-3或m≥ D.-3≤m≤
【解题指南】m= 的几何意义是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可得解.
【解析】选A.由题意可知m= 的几何意义是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m≥ = 或m≤ =- .
故所求m的取值范围是m≤- 或m≥ .
4.设P(x，y)是圆C(x-2)2+y2=1上任意一点，则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.6 B.25 C.26 D.36
【解析】选D.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，-4)的距离的平方，由于点P在圆(x-2)2+y2=1上，这个最大值是(|QC|+1)2=36.
【误区警示】解答本题误区有二：一是不能理解(x-5)2+(y+4)2的几何意义；二是不能把所求距离转化为圆心到定点的距离加半径.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2014•大连
高一检测)圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是__________.
【解析】设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.
由题意得
解得
所以所求圆的方程为 + =1.
答案： + =1
6.(2014•湖北高考)已知圆O：x2+y2=1和点A (-2，0)，若定点B(b，0)(b≠-2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则
(1)b=________.
(2)λ=________.
【解析】设M(x，y)，因为 =λ ，
所以(x-b)2+y2=λ2[(x+2)2+y2]，
整理得(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2+4λ2=0，
因为圆O上的点M都有 =λ 成立，
所以由 可求得
答案：(1)- (2)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2014•汉中
高一检测)平面直角坐标系中有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(-1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
【解题指南】由四点中的三点求出圆的方程，再证明第四个点在圆上.
【解析】能.设过A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.
将D(-1，2)代入圆的方程等号的左边，
(-1-1)2+(2-3)2=4+1=5=r2，
即D点坐标适合此圆的方程.
故A，B，C，D四点能在同一个圆上.
8.已知点A(-2，-2)，B(-2，6)，C(4，-2)，点P在圆x2+y2=4上运动，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值.
【解析】设P(x，y)，又x2+y2=4.
则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-
4y+68=80-4y.
因为-2≤y≤2，
所以72≤|PA|2+|PB|2+|PC|2≤88.
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72.
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