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课时提升作业(十七)
直线方程的两点式和一般式
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程是( )
A. =
B.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
C. =
D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0
【解析】选B.选项A是直线的两点式，但是该方程不能表示与坐标轴垂直的直线，所以不能选A.而B选项的式子是两点式的变形，它可以表示所有情况下的直线，C，D显然不合题意，所以选B.
2.(2014•佛山
高一检测)直线 + =1过一、二、三象限，则( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
【解析】选C.直线交x轴负半轴，交y轴正半轴，所以a<0，b>0.
3.(2014•焦作
高一检测)过P(4，-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【解析】选B.设直线方程为y+3=k(x-4)(k≠0).
令y=0得x= ，令x=0得y=-4k-3.
由题意， =-4k-3，解得k=- 或k=-1.
因而所求直线有两条.
【一题多解】选B.当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为 + =1，把点P(4，-3)的坐标代入方程得a=1.所以所求直线有两条.
4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角为45°，则a-b的值为( )
A.0 B.1 C.-2 D.2
【解析】选D.由题意直线过(0，-1)，故b=-1，倾斜角为45°，斜率为1，得a=1，所以a-b=2.
5.(2014•驻马店高一检测)直线l1：(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2：x-y+1=0的斜率相同，则m等于( )
A.2或3 B.2
C.3 D.-3
【解析】选C.直线l1的斜率为 ，直线l2的斜率为1，则 =1，即2m2-5m+2=m2-4，m2-5m+6=0，解得m=2或3，当m=2时，2m2-5m+2=0，-(m2-4)=0，则m=2不合题意，仅有m=3.
【误区警示】本题易忽视当m=2时，2m2-5m+2=0且-(m2-4)=0而错选A.
6.直线l：Ax+By+C=0过原点和第二、四象限，则( )
A.C=0，B>0 B.C=0，A>0，B>0
C.C=0，AB>0 D.C=0，AB<0
【解析】选C.由直线l过原点知C=0.又直线过第二、四象限，所以- <0，所以AB>0.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.直线2x-4y-8=0的斜率k=________，在y轴上的截距b=________.
【解析】直线方程化为斜截式，得y= x-2，
所以k= ，b=-2.
答案： -2
8.直线l过点P(-2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为________.
【解析】设A(x，0)，B(0，y).
因为点P恰为AB的中点，所以x=-4，y=6，
即A，B两点的坐标分别为(-4，0)，(0，6).
由截距式得直线l的方程为 + =1.
即为3x-2y+12=0.
答案：3x-2y+12=0
9.(2014•南阳高一检测)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，-2)，则直线l方程为________.
【解析】设在y轴上的截距为a(a≠0)，
所以方程为 + =1，
代入点A，得 - =1，
即a2-3a+2=0，
所以a=2或a=1，
所以方程为： +y=1或 + =1，
即x+2y-2=0或2x+3y-6=0.
答案：x+2y-2=0或2x+3y-6=0
【变式训练】过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.
【解析】设直线方程为 + =1，则
解得a=2，b=3，
则直线方程为 + =1，即3x+2y-6=0.
答案：3x+2y-6=0
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为 ，求直线l的方程.
【解析】设所求直线l的方程为y=kx+b.
因为k=6，所以方程为y=6x+b.
令x=0，所以y=b，与y轴的交点为(0，b)；
令y=0，所以x=- ，与x轴的交点为 .
根据勾股定理得 +b2=37，
所以b=±6.因此直线l的方程为6x-y±6=0.
【变式训练】一条直线经过点A(-2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程.
【解析】设所求直线的方程为 + =1，
因为A(-2，2)在直线上，所以- + =1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
所以 |a|•|b|=1.②
由①②可得
(i) 或(ii)
由(i)解得 或
方程组(ii)无解.
故所求的直线方程为 + =1或 + =1，
所求直线的方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.
11.(2014•日照高一检测)已知直线ax-y+2a+1=0.
(1)x∈(-1，1)时，y>0恒成立，求a的取值范围.
(2)a∈ 时，恒有y>0，求x的取值范围.
【解题指南】第(1)问可根据数形结合求出结论，在第(2)问中注意到方程是关于x，y的一次式，也是关于a，y的一次式，于是可借助一次函数解决.
【解析】(1)令y=f(x)=ax+(2a+1)，
x∈(-1，1)时，y>0.
只需 即
解得 即a≥- .
(2)令y=g(a)=(x+2)a+1，看作a的一次函数，
a∈ 时，y>0，只需
即
解得
所以-3≤x≤4.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. ab B. |ab| C. D.
【解析】选D.令x=0，得y= ；
令y=0，得x= ；
S= = .
2.(2014•合肥高一检测)直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为
( )
A. ， B.- ，-
C.- ，- D. ，
【解析】选C.把方程化为斜截式：y=- x- ，
则斜率k=- ，b=- .
3.(2014•济源高一检测)若k∈R，直线kx-y-2k-1=0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )
A.(1，-2) B.(-1，2)
C.(-2，1) D.(2，-1)
【解析】选D.y+1=k(x-2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，-1).
4.(2014•渭南高一检测)过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为( )
A.x-y-3=0
B.2x-5y=0
C.2x-5y=0或x-y-3=0
D.2x+5y=0或x+y-3=0
【解析】选C.设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为-a.
若a=0，则直线过原点，其方程为2x-5y=0.
若a≠0，则设其方程为 + =1，
又点(5，2)在直线上，所以 + =1，所以a=3.
所以直线方程为x-y-3=0.
综上直线l的方程为2x-5y=0或x-y-3=0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2014•南昌高一检测)有下列说法：
①平面内的所有直线均可写成两点式；②直线方程的斜截式均可化为截距式；③点斜式直线方程可表示任一直线；④平面上的直线最多可通过三个象限.其中不正确的是________.
【解析】对于①，由两点式方程的定义知，当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程，故①错误.由于直线的截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即两个非零的截距，所以说截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴垂直的直线，而直线的斜截式方程则可以表示过原点的直线，故②错误.由点斜式的定义可知，如果直线与x轴垂直，此时直线的倾斜角为
90°，斜率不存在，它的方程就不能用点斜式表示，因此③的说法也是错误的.④显然是正确的.
答案：①②③
6.(2014•榆林高一检测)已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________________.
【解析】因为点A(2，1)在直线a1x+b1y+1=0上，所以2a1+b1+1=0.
由此可知点P1 (a1，b1)的坐标满足2x+y+1=0.
因为点A(2，1)在直线a2x+b2y+1=0上，
所以2a2+b2+1=0.
由此可知点P2(a2，b2)的坐标也满足2x+y+1=0.
所以过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x+y+1=0.
答案：2x+y+1=0
【变式训练】已知2x1-3y1=4，2x2-3y2=4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是( )
A.2x-3y=4 B.2x-3y=0
C.3x-2y=4 D.3x-2y=0
【解析】选A.因为(x1，y1)满足方程2x1-3y1=4，则(x1，y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2，y2)也在直线2x-3y=4上.由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x-3y=4.
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2014•九江高一检测)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(-1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程.
【解析】因为点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，-2)，
所以由两点式可得直线A′B的方程为 = ，
即2x+y-4=0.
同理，点B关于x轴的对称点为B′(-1，-6)，
由两点式可得直线AB′的方程为 = ，
即2x-y-4=0.
所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0，
反射光线所在直线方程为2x+y-4=0.
【变式训练】(2014•宜春高一检测)已知A(-1，4)，B(2，2)，点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时点P的坐标.
【解析】如图，点B关于x轴的对称点
B′(2，-2)，连接PB′，
则|AP|+|PB|
=|AP|+|PB′|≥|AB′|，
|AB′|=3 ，当点A，P，B′三点共线时，
|AP|+|PB|取最小值3 .
直线AB′的方程为 = ，
即2x+y-2=0.
令y=0，得x=1.
所以点P的坐标为(1，0).
【拓展延伸】求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由
其他条件确定直线的斜率.
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由
其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.
(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程.
(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程.
(5)不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线.
8.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC=210m，CD=240m，DE=300m，EA=180m)
【解题指南】本题的实质是在直线AB上找出恰当的点，因此，可以先建系，由截距式方程写出直线，再由矩形面积公式写出目标函数，求函数的最大值来确定点的位置.
【解析】以BC边所在直线为x轴，AE边所在直线为
y轴，建立如图所示的直角坐标系.
由已知可得A(0，60)，B(90，0).
所以AB所在直线方程为 + =1.即y=60- x，从而可设线段AB上一点
P ，其中0≤x≤90，
所以所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).
故S=(300-x)
=- x2+20x+54000
=- (x-15)2+54150(0≤x≤90).
所以当x=15，y=60- ×15=50时，
Smax=54150(m2).
因此点P距直线AE15m，距直线BC50m时所开发的面积最大，最大面积为54150m2.
【拓展延伸】用代数法解决几何问题
(1)建立适当坐标系将几何问题代数化是常用的解题方法.
(2)建立坐标系时要尽可能地应用题目中的垂直关系，且让尽可能多的元素落在坐标轴上.
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