幼升小练习

抛物线的弦_抛物线习题精选(附答案)

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习题精选
  一、选择题
  1.过抛物线焦点  的直线与抛 物线相交于  ,  两点,若  ,  在抛物线准线上的射影分别是  ,  ,则  为( ).
  A.45°  B.60°  C.90°  D.120°
  2.过已知点  且与抛物线  只有一个公共点的直线有( ).
  A.1条  B.2条  C.3条  D.4条
  3.已知  ,  是抛物线  上两点,  为坐标原点,若  ,且  的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线  的方程是( ).
  A.   B.   C.   D. 
  4.若抛物线  (  )的弦PQ中点为  (  ),则弦  的斜率为()
  A.   B.   C.   D. 
  5.已知  是抛物线  的焦点弦,其坐标  ,  满足  ,则直线  的斜率是()
   A.   B.   C.   D.  
  6.已知抛物线  (  )的焦点弦  的两端点坐标分别为  ,  ,则  的值一定等于( )
  A.4  B.-4  C.   D. 
  7.已知⊙  的圆心在抛物线  上,且⊙  与  轴及  的准线相切,则⊙  的方程是( )
  A.   B. 
  C.   D. 
  8.当  时,关于  的方程  的实根的个数是( )
  A.0个  B.1个   C.2个  D.3个
  9.将直线  左移1个单位,再下移2个单位后,它与抛物线  仅有一个公共点,则实数  的值等于( )
  A.-1      B.1        C.7        D.9
  10.以抛物线  (  )的焦半径  为直径的圆与  轴位置关系为( )
  A.相交     B.相离     C.相切     D.不确定
  11.过抛物线  的焦点作直线交抛物线于  ,  两点,如果  ,那么  长是( )
  A.10       B.8        C.6        D.4
  12.过抛物线  (  )的焦点且垂直于   轴的弦为  ,  为抛物线顶点,则  大小( )
  A.小于   B.等于  C.大于  D.不能确定
  13.抛物线  关于直线  对称的曲线的顶点坐标是( )
  A.( 0,0) B.(-2,-2) C.(2,2) D.(2,0)
  14.已知抛物线  (  )上有一点  ,它到焦点  的距离为5,则  的面积(  为原点)为( )
  A.1  B.   C.2  D. 
  15.记定 点  与抛物线  上的点  之间的距离为  ,  到此抛物线准线  的距离为  ,则当  取最小值时  点的坐标为( )
  A.(0,0)  B.   C.(2,2)  D. 
  16.方程  表示( )
  A.椭圆     B.双曲线       C.抛物线       D.圆
  17.在  上有一点  ,它到  的距离与它到焦点的距离之和最小,则  的坐标为()
  A.(-2,8) B.(2,8) C.(-2,-8) D.(-2,8)
  18.设  为  过焦点的弦,则以  为直径的圆与准线交点的个数为()
  A.0        B.1        C.2        D.0或1或2
  19.设  ,  为抛物线  上两点,则  是  过焦点的()
  A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要
  20.抛物线垂点为(1,1),准线为  ,则顶点为()
  A.   B.   C.   D. 
  21.与  关于  对称的抛物线是()
  A.   B.   C.   D. 
  二、填空题
  1.顶点在原点,焦点在  轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是_________.
  2.抛物线顶点在原点,焦点在  轴上,其通径 的两端点与顶点连成的三角形面积为4,则此抛物线方程为_________.
  3.过点(0,-4)且与直线  相切的圆的圆心的轨迹方程是_________.
  4.抛物线  被点  所平分的弦的直线方程为_________.
  5.已知抛物线  的弦  过定点(-2,0),则弦  中点的轨迹方程是________.
  6.顶点在原点、焦点在  轴上、截直线  所得弦长为  的抛物线方程为____________.
  7.已知直线  与抛物线  交于  、  两点,那么线段  的中点坐标是__           _.
  8.一条直线  经过抛物线  (  )的焦点  与抛物线交于  、  两点,过  、  点分别向准线引垂线  、   ,垂足为  、  ,如果  ,  ,  为  的中点,则  =__________.
  9.  是抛物线的一条焦点弦,若抛物线  ,  ,则  的中点  到直线  的距离为_________.
  10.抛物线  上到直线  的距离最近的点的坐标是____________.
  11.抛物线  上到直线  距离最短的点的坐标为__________.
  12.已知圆  与抛物线  (  )的准线相切,则  =________.
  13.过  (  )的焦点  的弦为  ,  为坐标原点,则  =________.
  14.抛物线  上一点  到焦点的距离为3,则点  的纵坐标为__________.
  15.已知抛物线  (  ),它的 顶点在直线  上,则  的值为__________.
  16.过抛物线  的焦点作一条倾斜角为  的弦,若弦长不超过8,则  的范围是________.
  17.已知抛物线  与椭圆  有四个交点,这四个交点共圆,则该圆的方程为__________.
  18.抛物线  的焦点为  ,准线  交  轴于  ,过抛物线上一点  作  于  ,则梯形  的面积为_______________.
  19.探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分,安装灯源的位置在抛物线的焦点  处,如果  到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径,已知灯口的半径为30cm,那么灯深为_________.
  三、解答题
  1.知抛物线  截直线  所得的弦长  ,试在  轴上求一点  ,使  的面积为39
  2.若  的焦点弦长为5,求焦点弦所在直线方程
  3.已知  是以原点  为直角顶点的抛物线  (  )的内接直角三角形,求  面积的最小值.
  4.若  ,  为抛物线  的焦点,  为抛物线上任意一点,求  的最小值及取得最小值时的  的坐标.
  5.一抛物线拱桥跨度为52米,拱顶离水面6.5米,一竹排上一宽4米,高6米的大木箱,问能否安全通过.
  6.抛物线以  轴为准线,且过点  ,(  )求证不论点  的位置如何变化,抛物线顶点的轨迹是椭圆,且离心率为定值.
  7.已知抛物线  (  )的焦点为  ,以  为圆心,  为半径,在  轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同的两点  、  ,  为线段  的中点.①求  的值;②是否存在这样的  ,使  、  、  成 等差数列,若存在,求出  的值;若不存在,说明理由.
  8.求抛物线  和圆  上最近两点之间的距离.
  9.正方形  中,一条边  在直线  上,另外两顶点  、  在抛物线  上,求正方形的面积.
  10.已知抛物线  的一条过焦点的弦被焦点分为  ,  两个部分,求证  .
  11.一抛物线型拱桥的跨度为  ,顶点距水面  .江中一竹排装有宽  、高  的货箱,问能否安全通过.
  12.已知抛物线  上两点  ,  (  在第二象限),  为原点,且  ,求当  点距  轴最近时,  的面积  .
  13.  是抛物线  上的动点,连接原点  与  ,以  为边作正方形  ,求动点  的轨迹方程.
  参考答案:
  一、1.C;2.C;3.D;4.B;5.C;6.B;7.B;8.D;9.C
  10.C;11.B;12.C;13.C;14.C;15.C;16.C;17.B;18.B;19.C;20.A;21.D
  二、1. ;2. ;3. ;4.
  5. ;6.  (在已知抛物线内的部分)
  7.  或 ;8.(4,2);9.
  10. ;11. ;12.2;13.-4
  14.2;15.0,  ,  , ;16.
  17. ;18.3.14;19.36.2cm
  三、1.先求得  ,再求得  或
  2. 
  3.设  ,  ,则由  得  ,
    ,  ,于是
    
    
    当  ,即   ,  时, 
  4.抛物线  的准线方程为  ,过  作  垂直准线于  点,由抛物线定义得  ,  ,要使  最小,  、  、  三点必共线,即  垂直于准线,  与抛物线交点为  点,从而  的最小值为  ,此时  点坐标为(2,2).
  5.建立坐标系,设抛物线方程为  ,则点(26,-6.5)在抛物线上,         抛物线方程为  ,当  时,  ,则有  ,所以木箱能安全通过.
  6.设抛物线的焦点为  ,由抛物线定义得  ,设顶点为  ,则  ,所以  ,即  为椭圆,离心率  为定值.
  7.①设  、  、   在抛物线的准线上射影分别为  、  、  ,则由抛物线定义得, 
  又圆的方程为  ,将  代入得 
    
  ②假设存在这样的  ,使得 
   
    ,由定义知点  必在抛物线上,这与点  是弦  的中点矛盾,所以这样的  不存在
  8.设  、  分别是抛物线和圆上的点,圆心  ,半径为1,若  最小,则
    也最小,因此  、  、   共线,问题转化为在抛物线上求一点  ,使它到 点  的距离最小.为此设  ,则  ,  的最小值是 
  9.设  所在直线方程为  ,  消去  得    
   
  又直线  与  间距离为 
        或 
  从而边长为  或  ,面积  , 
  10.焦点为  ,设焦点弦  端点  ,  ,当  垂直于  轴,则  ,结论显然成立;当  与  轴不垂直时,设  所在直线方程为  ,代入抛物线方程整理得  ,这时  ,于是   ,命题也成立.
  11.取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为  轴建立直角坐标系,则桥墩的两端坐标分别为(-26,-6.5),(26,-6.5),设抛物线型拱桥的方程为  ,则  ,所以  ,抛物线方程为  .当  时,  ,而  ,故可安全通过.
  12.设  ,则  ,因为  ,所以  ,直线  的方程为  ,将  代入,得点  的横坐标为  (当且仅当  时取等号),此时  ,  ,  ,  ,所以 .
  13.设  ,  ,过  ,  分别作为  轴的垂线,垂足分别为  ,  ,而证得  ≌  ,则有  , ,即  、  ,而  ,因此  ,即  为所求轨迹方程. 

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