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课时提升作业(七)
直线与平面平行的性质
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面( )
A.只有一个 B.恰有两个
C.没有或只有一个 D.有无数个
【解析】选C.当其中一条异面直线平行于另一条异面直线和点M所确定的平面时，过点M且平行于a和b的平面不存在，否则过点M有且只有一个平面平行于a和b.
2.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线都与直线a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与α相交
D.直线a与平面α有公共点
【解析】选D.a不平行于平面α，则有直线a在平面α内和直线a与平面α相交两种位置关系，若a α，则α内的所有直线与a共平面，平面内有无数条直线平行于a，故A，B，C均不正确.
3.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选D.因为l⊈α，所以l∥α或l∩α=A，若l∥α，则由线面平行性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由公理4可知，a∥b∥c…；若l∩α=A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，所以a，b，c，…，交于同一点A.
4.(2014•南昌高一检测)平面α∩平面β=a，平面β∩平面γ=b，平面γ∩平面α=c，若a∥b，则c与a，b的位置关系为( )
A.c与a，b都异面
B.c与a，b都相交
C.c至少与a，b中的一条相交
D.c与a，b都平行
【解析】选D.因为a∥b，a⊈γ，b γ，所以a∥γ，又a α，α∩γ=c，所以a∥c，所以a∥b∥c.
【举一反三】题干中若去掉条件a∥b，则a，b，c的位置关系为________.
【解析】因为a β，b β，
所以a∥b或a与b相交，
当a∥b时题中已证a∥b∥c，
当a与b相交时，
如图设a∩b=A，
则A∈a，A∈b，又a α，b γ，
所以A∈α，A∈γ，
所以A在α与γ的交线c上，
即a，b，c交于一点，
综上a∥b∥c或a，b，c交于一点.
答案：a∥b∥c或a，b，c交于一点
5.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
【解析】选B.因为ABC-A1B1C1是三棱柱，
所以A1B1∥AB.
又因为A1B1⊈平面ABC，AB 平面ABC，
所以A1B1∥平面ABC.因为A1B1 平面A1B1ED，
平面A1B1ED∩平面ABC=DE，
所以A1B1∥DE.所以DE∥AB.
6.(2014•重庆高一检测)若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为8和12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面是四边形，则此四边形的周长为
( )
A.10 B.20 C.24 D.16
【解题指南】先判断四边形的形状再求周长.
【解析】选B.如图，设截面为EFGH，因为AC∥平面EFGH，平面ACB∩平面EFGH=EF，AC 平面ABC，所以AC∥EF，同理可得GH∥AC，所以EF∥GH.同理FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形，所以四边形的周长为2(EF+EH)=AC+BD=20.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2014•阜阳高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l，则直线l与B1D1的位置关系是________.
【解析】因为B1D1∥BD，BD 平面A1BD，B1D1⊈平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.
又B1D1 平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1∩平面A1BD=l，所以B1D1∥l.
答案：平行
8.如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G.若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=________.
【解析】因为a∥α，平面α∩平面ABD=EG，
所以a∥EG，即BD∥EG，
所以 = = = = = ，
所以EG= = = .
答案：
9.如图，已知AB，CD为异面直线，E、F分别为AC，BD的中点，过E，F作平面α∥AB，若AB=4，EF= ，CD=2，则AB与CD所成角的大小为________.
【解析】如图所示，连接AD交平面α于G，连接EG，GF.
因为AB∥α，AB 平面ABD，
平面ABD∩α=GF.
所以AB∥GF，又F为BD中点，所以G为AD的中点，所以EG∥CD，∠EGF(或其补角)即为异面直线AB，CD所成的角.因为AB=4，CD=2，所以EG=1，GF=2，又EF= ，所以EG2+GF2=EF2，所以∠EGF=90°，故异面直线AB与CD所成的角为90°.
答案：90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF.试确定点M的位置.
【解析】如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，
所以PC∥OM，所以 = .
在菱形ABCD中，
因为E，F分别为边BC，CD的中点，
所以 = ，又AO1=CO1，
所以 = = ，
故PM∶MA=1∶3，即点M的位置在PA上使PM∶MA=1∶3的地方.
11.如图所示，一块矩形形状的太阳能吸光板安装在三棱锥形状的支撑架上，矩形EFGH的四个顶点分别在边AB，BC，CD，AD上，已知AC=a，BD=b，问E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
【解析】吸光板的吸光量的多少，取决于矩形EFGH的面积，设EH=x，EF=y，在矩形EFGH中，有EH∥FG，又EH⊈平面BCD，FG 平面BCD.
所以EH∥平面BCD，而EH 平面ABD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
所以EH∥BD.同理可证得EF∥AC，
所以 = ， = .
所以 + = =1，所以y=a .
又矩形EFGH的面积为S=xy，
即S=a •x=- x2+ax(0<x<b)，
所以当x=- = 时，S有最大值，此时y= ，所以当E，F，G，H依次为AB，BC，CD，DA的中点时，吸光板的吸光量最大.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014•蚌埠高一检测)一个平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形中只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是( )
A.梯形 B.菱形
C.平行四边形 D.任意四边形
【解析】选A.如图，空间四边形ABCD，平面α截四边形所得截面为EFGH，由BD∥α，平面BCD∩α=FG，BD 平面BCD，所以BD∥FG.同理可得BD∥EH，
所以EH∥FG.
因为AC与α不平行，可得EF与GH不平行(若平行则AC∥α)，所以四边形EFGH为梯形.
【举一反三】题干中若已知截面四边形是梯形，能判断截面与一条对角线平行吗？若截面是平行四边形呢？
【解析】若截面是梯形，令EH∥FG.
因为FG 平面BCD，EH⊈平面BCD.
所以EH∥平面BCD.又因为EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以EH∥BD.
又因为BD⊈平面EFGH，EH 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
即截面与一条对角线平行，
若截面为平行四边形，同理可得截面与两条对角线都平行.
2. (2013•深圳高一检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则 等于( )
A. B.1 C.2 D.3
【解析】选B.连接A1B交AB1于O，
则O为A1B的中点，
因为BC1∥平面AB1D1，
BC1 平面A1BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1，所以BC1∥OD1，
所以D1为A1C1的中点，即 =1.
3.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A.2+2 B.3+
C.3+2 D.2+
【解题指南】先证明EF∥AB，再根据三角形中位线等知识求解.
【解析】选C.因为AB=BC=CD=AD=2，
所以四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB.
又CD⊈平面SAB，AB 平面SAB，所以CD∥平面SAB.
又CD 平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB=EF，
所以CD∥EF.所以EF∥AB.
又因为E为SA的中点，所以EF= AB=1，
又因为△SAD和△SBC都是等边三角形，DE=CF=2×sin60°= ，
所以四边形DEFC的周长为CD+DE+EF+FC=2+ +1+ =3+2 .
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上的一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选B.过点Q作QE∥A1D1交A1B1于点E，
取AA1的中点F.
连接EF，PF，AB1，
可证PF∥AD，AD∥A1D1，
所以QE∥PF.
所以Q，E，P，F四点共面.
又因为PQ∥平面AA1B1B，
平面PQEF∩平面AA1B1B=EF，所以PQ∥EF，
所以四边形PQEF是平行四边形，
所以QE=PF= A1D1.
所以E是A1B1的中点，
所以PQ=EF= AB1= .
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图，三棱锥P-ABC中，E是侧棱AP上任一点，过E与BC平行的截面EMN分别交AB，AC于M，N，则MN与平面PBC的位置关系为________.
【解析】因为BC∥平面EMN，
平面ABC∩平面EMN=MN，BC 平面ABC，
所以BC∥MN，
又因为MN⊈平面PBC.BC 平面PBC.
所以MN∥平面PBC.
答案：MN∥平面PBC
6.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形.E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE+CF=8.P在棱AA1上，且AP=2，若EF∥平面PBD，则CF=________.
【解题指南】设AC与BD的交点为O，由EF∥平面PBD得EF∥PO，再由题意构造中位线得QC∥PO，证出EFCQ为平行四边形，再由题意求CF.
【解析】连接AC交BD于O，连接PO.
因为EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD=PO，
所以EF∥PO，在PA1上截取PQ=AP=2，连接QC，
则QC∥PO，
所以EF∥QC，
所以EFCQ为平行四边形，
则CF=EQ，
又因为AE+CF=8，AE+A1E=8，
所以A1E=CF=EQ= A1Q=2，
从而CF=2.
答案：2
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】连接A1C交AC1于点E，连接DE.
因为A1B∥平面AC1D，
A1B 平面A1BC，平面A1BC∩平面AC1D=DE.
所以A1B∥DE.
又四边形ACC1A1为平行四边形.
所以E为A1C中点.
所以D为BC的中点，D1为B1C1的中点，
所以BD C1D1，
则四边形BDC1D1为平行四边形.
所以BD1∥C1D，又BD1⊈平面AC1D，C1D 平面AC1D.
所以BD1∥平面AC1D.
又A1B∩BD1=B，所以平面A1BD1∥平面AC1D.
8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
【解析】若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C=MN，
所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF=FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN=BF=1.而EC∥FB，EC=2FB=2，所以MN∥EC， MN= EC=1，
故MN是△ACE的中位线.
所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
【拓展延伸】立体几何中“思维定式”的应用
解答立体几何问题通常有比较固定的方法.举例如下：
(1)作辅助线时，有“中点”考虑中位线，等腰三角形的性质.
(2)证明线面平行，通常用判定定理，也就是证明平面外的直线与平面内的一条直线平行.
(3)证明面面平行，通常用其判定定理，也就是证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行.
(4)题目条件中有线面平行时，一定要想到线面平行的性质定理，也就是见到“线面平行”就要考虑过已知直线找(或作)出平面与已知平面相交，得到交线与已知直线平行.