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课时提升作业(十二)
柱、锥、台的侧面展开与面积
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.若正方体的表面积为72，则它的对角线的长为( )
A.2 B.12 C. D.6
【解析】选D.设正方体的棱长为a，则6a2=72.所以a=2 ，所以对角线长为 = a=6.
2.一个圆锥的表面积为πam2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )
A. m B. m
C. m D. m
【解析】选B.依题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则半圆的弧长πl为圆锥的底面周长2πr.
依题意得方程组
即
得3r2=a，所以r= (m)，故选B.
3.已知圆柱O′O的底面半径为3，母线长是底面半径的2倍，则圆柱O′O的表面积为( )
A.36π B.54π C.72π D.90π
【解析】选B.因为母线l=2×3=6，
所以S侧=2π×3×6=36π，
所以S表=36π+2×π×32=54π.
4.(2014•阜阳高一检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A.6+8 B.12+7
C.12+8 D.18+2
【解析】选C.由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，三棱柱的底面是一个腰长为2，底面上的高是1的等腰三角形，侧棱长是3，所以该几何体的表面积为2× ×2 ×1+3(2+2+2 )=12+8 .
【变式训练】一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h=________m.
【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：2× ×4+(2+4+5+ )h=92，即16h=64，解得h=4.
答案：4
5.(2014•焦作高一检测)如图所示，圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表面积为( )
A.π B.2π C.3π D. 4π
【解析】选C.设圆锥的母线长为l，则l= =2，所以圆锥的表面积为S=
π×1×(1+2)=3π.
6.(2014•合川高一检测)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
【解析】选A.设底面圆半径为r，母线即高为h.所以h=2πr.
所以 = = = = .
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2014•宿州高一检测)等边三角形ABC的边长为a，直线l过A且与BC垂直，将△ABC绕直线l旋转一周所得的几何体的表面积是________.
【解析】依题意知，圆锥的母线长为a，底面半径为 ，周长为aπ.所以圆锥的表面积为
S= ×a•aπ+ π= πa2.
答案： πa2
8.(2014•珠海高一检测)某几何体的三视图如图所示，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，左视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________.
【解析】由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为2 ；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π+ ).
答案：2(π+ )
9.(2014•铜陵高一检测)已知等腰直角三角形ABC的斜边AB长为2，以它的一条直角边AC所在直线为轴旋转一周形成一个几何体，则该几何体的侧面积为________.
【解析】因为在△ABC中，AB=2，BC=AC= ，以AC所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，所以圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线长为2，又圆锥的底面周长为2 π，所以侧面积为 ×2 π×2=2 π.
答案：2 π
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014•阜阳高一检测)如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比.
【解题指南】由题意可知，圆柱的母线、半径及圆锥的母线都能用圆锥底面的半径表示，所以可设圆锥底面半径解决.
【解析】设圆锥底面半径为r，则母线为2r，高为 r，
所以圆柱的底面半径为r，高为 r，
所以 = = .
11.正四棱台两底面边长分别为3和9.
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积.
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【解析】(1)如图，
设O1，O分别为上下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高.
由题意知∠C1CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C1O1= ×(9-3)=3 .
所以C1E=CE=3 ，
又EF=CE•sin 45°=3，
所以斜高C1F=
= =3 .
所以S侧=4× (3+9)×3 =72 .
(2)由题意知，S上底+S下底=32+92=90，
所以4× (3+9)•h斜=90.
所以h斜= .
又EF=3，
所以h= = .
【拓展延伸】简单多面体的侧面积的求法
(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.
(2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.
②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下底面之间的关系.
特别提醒：棱柱的侧面积不一定等于底面周长和侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积等于底面周长与侧棱长的乘积.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加( )
A.6a2 B.12a2 C.18a2 D.24a2
【解析】选B.原正方体的表面积6a2，切成27个小正方体的表面积为27× =18a2，所以表面积增加了12a2.
2.(2014•咸阳高一检测)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )
A.3∶2 B.2∶1 C.4∶3 D.5∶3
【解析】选C.由题意知，圆锥侧面展开图的弧长为 l，所以S侧= ×l× l= l2，又因为S表= l2+( )2•π= l2.则S表∶S侧=4∶3.
【变式训练】已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是________.
【解析】如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得 解得r= ，所以圆锥的底面积为πr2=π× = .
答案：
3.(2014•重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.54 B.60 C.66 D.72
【解题指南】先根据三视图还原原来的几何体，然后求出其表面积.
【解析】选B.由三视图可知该几何体为如图所示的一个三棱柱上方被截去一个三棱锥得到的.
由三视图中的相关数据易知，底面的面积为 ×3×4=6，左侧侧面积为3×5=15，前面的侧面积为 ×(2+5)×4=14，后面的侧面积为 ×(2+5)×5= ，截面积为 ×3×5= ，故表面积为6+14+15+ + =60.选B.
4.(2013•重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.180 B.200 C.220 D.240
【解题指南】根据三视图可还原原来的几何体，然后求出该几何体的表面积.
【解析】选D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.底面积为2× (8+2)×4=40，由三视图知，梯形的腰为 =5，梯形的周长为8+2+5+5=20，所以四棱柱的侧面积为20×10=200，表面积为240.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号).
【解题指南】利用侧面展开图寻找最短路径，用勾股定理解决.
【解析】由题意，展开图如图所示，可知AC的长即为所求的最短距离，在展开图中，
CD= (2π× )=2，AD=2，
所以AC= =2 .
答案：2
6.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.
【解题指南】利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径，代入圆台的侧面积公式进行计算.
【解析】已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，
则下底面半径和高分别为4r和4r，
由100=(4r)2+(4r-r)2，得r=2，
故圆台的侧面积等于π(r+4r)l=π(2+8)×10=100π.
答案：100π
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图所示，已知正三棱锥S-ABC，过B和侧棱SA，SC的中点E，F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比.
【解析】取AC的中点M，连接SM，设SM∩EF=D，连接BD，在△SAC中，E，F分别为SA，SC的中点，所以EF∥AC.所以 = ，因为SF=FC，所以SD=DM.所以D为SM的中点.因为S-ABC为正三棱锥，所以△SAC为等腰三角形，所以SM⊥AC.而AC∥EF，所以SM⊥EF.又因为截面BEF⊥侧面SAC，所以SM⊥平面BEF.所以SM⊥BD.又因为SD=DM，所以△SBM为等腰三角形.所以SB=BM，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则BM= a.从而SA=SB=SC=BM= a.
又因为SM= = =
a，所以S侧=3× a• a= a2，S底= a2，
所以S侧∶S底= ∶1.
8.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积.
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
【解题指南】利用轴截面找到相关元素的关系，使空间问题平面化，通过构造二次函数，把问题转化为我们熟悉的函数在给定区间上的最值问题.
【解析】如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图，
(1)设所求圆柱的底面半径为r，
则 = ，所以r=R- x，
则S圆柱侧=2πrx=2πRx- •x2.
(2)因为S圆柱侧是关于x的二次函数，
所以当x=- = 时，S圆柱侧有最大值，
即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.
【变式训练】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).
【解析】(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 =1.2-2r，则塑料片面积
S=πr2+2πr(1.2-2r) =πr2+2.4πr-4πr2
=-3πr2+2.4πr=-3π(r2-0.8r)
=-3π(r-0.4)2+0.48π.
所以当r=0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米.
(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2-2×0.3=0.6(米).制作灯笼的三视图如图.