高三

第一学期期末考试样卷带答案

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湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试
高三数学卷(理)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 (   )
A.                    B.                  C.               D.
2、“ ”是“函数 为偶函数”的(   )
A.充分不必要条件                  B.必要不充分条件
C.充分必要条件                    D.既不充分也不必要条件
3、函数 的单调递增区间为(   )
A.            B.             C.           D.
4、已知 , 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是(   )
A.若 , ,则                  B.若 , ,则
C.若 , ,则                D.若 , ,则
5、若圆  与 , 轴都有公共点,则实数 的取值范围是(   )
A.      B.      C.     D.
6、已知函数 ,若存在非零实数 ,使得 成立,则实数 的取值范围是(   )
A.            B.            C.             D.
7、已知实数 , 满足 ,若 的最大值为 ,则实数 的取值范围是(   )
A.              B.               C.              D.
8、已知 、 分别是双曲线  ( , )的左、右焦点,且 是抛物线  ( )的焦点,双曲线 与抛物线 的一个公共点是 .若线段 的中垂线恰好经过焦点 ,则双曲线 的离心率是(   )
A.             B.              C.             D.
二、填空题(本大题共7小题,第9-12题,每小题6分,第13-15题,每小题4分,共36分.)
9、已知全集为 ,集合 , ,则        ;        ;        .
10、若函数 ,则        ;        .
11、若函数 ,则 的最小正周期为       ;        .
12、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为       ;表面积为       .
13、在 中, , , , 是边 上的动点(含 , 两个端点).若 ( , ),则 的取值范围是         .
14、已知棱长为 的正四面体可以在一个单位正方体(棱长为 )内任意地转动.设 , 分别是正四面体与正方体的任意一顶点,当 达到最大值时, , 两点间距离的最小值是        .
15、设 ,集合 , ,若 ( 为实数集),则实数 的取值范围是         .
三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16、(本小题满分15分)在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,且 .已知向量 , ,且 .
 若 ,求边 的值;
 求 边上高 的最大值.
 

 

17、(本小题满分15分)如图,在四棱锥 中, , 平面 , , , .
 求证:平面 平面 ;
 若点 在棱 上的射影为点 ,求二面角 的余弦值.

 


18、(本小题满分15分)已知二次函数 ( , ).
 若 ,且不等式 对 恒成立,求函数 的解析式;
 若 ,且函数 在 上有两个零点,求 的取值范围.

 


19、(本小题满分15分)已知椭圆  ( )的右焦点为 ,上顶点为 .
 过点 作直线与椭圆 交于另一点 ,若 ,求 外接圆的方程;
 若过点 作直线与椭圆 相交于两点 , ,设 为椭圆 上动点,且满足 ( 为坐标原点).当 时,求 面积 的取值范围.

 

 

20、(本小题满分14分)已知数列 的前 项和记为 ,且满足 .
 求数列 的通项公式;
 设 ,记 ,求证: .
 
湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试
高三数学卷(理)参考答案
一、 选择题(本大题共有8小题,每小题5分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C D B C A
二、填空题(本大题共7小题,9——12每题6分,13——15题每题4分,共36分.)
9.  ; ;             10.   ; 
11.   ;                              12.  ;
13.             14.              15.
三、解答题(本大题共5小题,共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.解:(Ⅰ)方法一:由 ,得 ,--------------------------------2分
即 ,得 ,-----------------------------------------------4分
又 ,所以 ,故 ,即 .--------------6分
结合 ,得
由正弦定理 得,  .----------------------------------------------------8分
方法二: 由 ,得 ,----------------------------------------------2分
则 ,又 ,故 ,
即 ,--------------------------------------------------------------------------------------4分
又 ,所以 ,故 ,即 .--------------------------------6分
结合 ,得 .
由正弦定理 得,  .-------------------------------------------------------8分
(Ⅱ) 设 边上的高为 ,则 ,----------10分
即 ,  ,    -----------------14
(等号成立当且仅当 )
所以 ,因此 ,
所以 边上的高 的最大值为 .   -----------------------------------------------15分
17.(Ⅰ)证明:因为 平面 ,所以 ,  …………………………2分
又因为 ,所以 平面 ,         ………………………4分
所以平面 平面 .                    …………………………5分
(Ⅱ)解法1:先考查二面角 和二面角 ,
因为 面 ,所以 ,又因为 ,
所以 面 ,所以 , ,
所以 即二面角的 一个平面角,          ……………………7分
因为 ,                      ……………………9分
  ,                        ……………………11分
所以 ,
所以                ……………………12分
             ……………………13分
  ,           ……………………14分
所以 ,
所以二面角 的余弦值为 .              ……………………15分
解法2:因为 面 ,所以 ,又因为 ,
所以 面 ,所以 , ,
所以 即为二面角的 一个平面角.          …………………8分
因为 ,所以 , ,        …………………………10分
所以 ,  ,   …………………12分
又因为直角梯形 可得  ,    …………………………13分
所以   ,     …………………………………14分
所以 ,             
所以二面角 的余弦值为 .            ……………………………15分
解法3:如图所示,以 为 轴,以 为 轴,过 作 轴,建立空间直角坐标系,则可知 , , , , ,……8分
 
则 , .      
设平面 的一个法向量是 ,可得:
  即 .……………………………………………10分
同理可得 的一个法向量是  , ……………………………………12分
所以二面角 的余弦值为 .   ………………………15分
18.解:(Ⅰ)因为 ,所以 ,---------------------------------------3分
因为当 ,
都有 ,所以有 ,    --------------------------6分
即 ,所以 ;   --------------------------------------------7分
(Ⅱ)解法1:因为 在 上有两个零点,且 ,
所以有      -------------------------11分
 (图正确,答案错误,扣2分)
通过线性规划可得 .         ---------------------------------------------15分
(若答案为 ,则扣1分)
解法2:设 的两个零点分别 ,所以 ,--------9分
不妨设 , ,--------------------------------------------------------------11分
因为 ,且 , ,----------------13分
所以 ,所以 .-------------------------------------------------15分
(若答案为 ,则扣1分)
19.解:(Ⅰ) 由右焦点为 ,上顶点为 得 ,
    所以 .-------------------------------------------------------------------------3分
( 每个1分)
    所以椭圆方程为 ,
因为 ,可求得点 ,--------------------------------4分
因为 为直角三角形, 中点坐标 ,且 ,
所以 外接圆方程为 .--------------------6分
(Ⅱ)设过点 的直线方程为 ,     --------------------------------------------7分
 两点的坐标分别为 , ,
联立方程 得   ,  ,
因为 , ,-------------------------------------------------9分
所以 
  ,------------11分
因为 ,所以点 ,
因为点 在椭圆C上,
所以有 ,
化简得 ,
因为 ,所以得
 ,化简 ,-------13分
因为 ,所以 ,
因为  ,
令 ,所以  ,
令 ,因为 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 .--------------------------------------------------------------------------------15分
20.解:(Ⅰ)当 时, ,解得 ,---------------------------------------------1分
     当 时, ,
 ,-----------------------------------------------------------------------2分
两式相减得: ,
即 ,  ------------------------------------------------------------------------------------------5分
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 ,------------------6分
(Ⅱ)证法1:当 为偶数时,
 ----------------------------7分
                     ,--------------------------------10分  = ;-----------11分
                                            
当 是奇数时,    .
综上可知 .---------------------------------------------------------------------------------14分
证法2:当 时, , , , 不等式显然成立-------8分
当 时,要证明 ,
只要证明 ,
只要证明 .    --------9分
又因为当 时, , 即
故 

       -----------------------------------------------12分
  ----------------------------------------------------------------------13分
 .-------------------------------------------------------------------------------14分
 

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