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湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试
高三数学卷（文）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3、函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4、已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5、为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
6、已知函数 ，若存在非零实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7、已知实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、已知 、 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，且 是抛物线 （ ）的焦点，双曲线 与抛物线 的一个公共点是 ．若线段 的中垂线恰好经过焦点 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）
9、已知全集为 ，集合 ， ，则 ； ； ．
10、若函数 ，则 的最小正周期为
； ．
11、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．
12、如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的大小为 ；直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
13、已知两圆 与 ，动圆 与这两个圆都内切，则动圆的圆心 的轨迹方程为 ．
14、在 中， ， ， ， 是边 上的动点（含 ， 两个端点）．若 （ ， ），则 的取值范围是 ．
15、若函数 的定义域和值域都是 ，则实数 ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分15分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
求角 ；
求 的取值范围．
17、（本小题满分15分）如图，在四棱锥 中， ， 平面 ， ， ， ．
求证：平面 平面 ；
若点 在棱 上的射影为点 ，求二面角 的余弦值．
18、（本小题满分15分）已知二次函数 （ ， ）．
若 ，且不等式 对 恒成立，求函数 的解析式；
若 ，且函数 在 上有两个零点，求 的取值范围．
19、（本小题满分15分）设数列 的前 项和记为 ，对任意正整数 满足 ．
求数列 的通项公式；
设 ，记数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
20、（本小题满分14分）已知抛物线 和直线 ，直线 与 轴的交点为 ，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，与直线 交于点 ．
记 的面积为 ，求 的取值范围；
设 ， ，求 的值．
湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试
高三数学卷（文）参考答案
一、 选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C D B D B
二、填空题(本大题共7小题，第9—12题，每题6分，第13—15题每题4分，共36分．)
9、 ， ， 10、 ,
11、 ， 12、 ,
13、 14、 15、
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
16．解：（Ⅰ）由 得 ， ………………………………2分
化简得： 即 ，
所以 ． ………………………………5分
故 ． ………………………………7分
（Ⅱ） ………………………………8分
= ， ………………………………9分
= ， ……………………………………11分
= ， …………………………13分
由 可知 ，
所以 ， ……………………………………14分
故 ．
故 ．
所以 ． ………………………15分
17．（Ⅰ）证明：因为 平面 ，所以 ， …………………………2分
又因为 ，所以 平面 ， ………………………4分
所以平面 平面 . …………………………5分
（Ⅱ）解法1：先考查二面角 和二面角 ，
因为 面 ，所以 ，又因为 ，
所以 面 ，所以 ， ，
所以 即二面角的 一个平面角， ……………………7分
因为 ， ……………………9分
， ……………………11分
所以 ，
所以 ……………………12分
……………………13分
， ……………………14分
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ． ……………………15分
（Ⅱ）解法2：
因为 面 ，所以 ，又因为
所以 面 ，所以 ，
所以 即二面角 的一个平面角 ………………8分
因为 ，所以 ， ……………………10分
所以 ， ………………12分
又因为直角梯形 可得 ……………………13分
所以 …………………………14分
所以
所以二面角 的余弦值为 ． ………………………15分
解法3：如图所示，以 为 轴，以 为 轴，过 作 轴，建立空间直角坐标系，则可知 ， ， ， ， ， …8分
则 , .
设平面 的一个法向量是 ，可得：
即 , ………………………………………10分
同理可得 的一个法向量是 , ………………………………12分
所以二面角 的余弦值为 ． …………………15分
18．解：(Ⅰ)因为 ，所以 ， …………………………………3分
因为当 ，
都有 ，所以有 ， ………………………6分
即 ，所以 ； ………………………………7分
(Ⅱ)解法1：因为 在 上有两个零点，且 ，
所以有 ………………………………………11分
（图正确，答案错误，扣2分）
通过线性规划可得 . ……………………………………………15分
（若答案为 ，则扣1分）
解法2：设 的两个零点分别 ，所以 ，……9分
不妨设 ， ， … ………………………11分
因为 ，且 ， ， …………13分
所以 ，所以 . …………………………………15分
（若答案为 ，则扣1分）
19. 解：（Ⅰ）当 时， ，解得： ……………………………2分
当 时，
两式相减得： ，即 ，………………………………5分
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ；……7分
（Ⅱ） , …………………………………9分
不等式等价于 ，令 ，……10分
则 ，
…………………………………12分
所以，当 时， ；当 时， ；
即 的最大值为 ； …………………14分
所以， . …………………15分
20. 解：(Ⅰ)显然直线 斜率 存在，且 ,
设直线 方程 ，…………………1分
设 ， ，
联立方程 得 ,
得 ， …………………………………………………3分
所以 …………………………………………4分
……………………………………………………………………5分
所以 ………………………………………………………6分
……………………………………………………………………………7分
另解：(Ⅰ) 显然直线 斜率 存在，且 ，设直线 方程 ，………1分
设 ， ，联立方程 得 ,
得 ，…………………………3分
………………………………………4分
点 到直线 距离为 ………………………………………5分
所以 ……………………………………………………………6分
………………………………………………………………………………7分
(Ⅱ) 设 ,………………………………………………………………8分
则由(Ⅰ)可知 ， ，…………………………9分
所以 ，…………………………………………………………………10分
同理 ，……………………………………………………11分
又 ………………………………………12分
故 ………………………………………13分
因此 的值为 .…………………………………………………………………14分
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