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课时提升作业(八)
平面与平面平行的性质
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2013•安徽高考)在下列说法中，不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【解析】选A.
选项 具体分析 结论
A 两个平面平行的性质定理 不是公理
B 空间图形的公理2 是公理
C 空间图形的公理1 是公理
D 空间图形的公理3 是公理
2.(2014•广州高二检测)设a，b，c为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法中，正确的个数为( )
(1)若α∥β，a α，b β则a∥b.
(2)若α∥β，a α，B∈β，则在β内过点B存在唯一一条直线与a平行.
(3)若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【解析】选B.(1)错误，a与b无公共点，则a∥b或a与b异面.(2)正确，由面面平行的性质定理知(2)正确，(3)正确.
3.(2014•西安高一检测)一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
【解析】选C.设α∩β=l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α，β都相交的平面γ，
记α∩γ=b，β∩γ=c.
则a∥b，且a∥c，所以b∥c.
又b⊈β，c β，所以b∥β.
又b α，α∩β=l，
所以b∥l，a∥l.
4.(2014•成都高二检测)平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，则平面α必定和这个三棱锥的( )
A.底面平行 B.一个侧面平行
C.平行于两条相对的棱 D.仅与一条棱平行
【解题指南】画出三棱锥结合面面平行的性质逐一验证.
【解析】选D.当平面α平行于某一个面时，截面为三角形，故A，B错，当平面α∥SA时，如图所示.
SA 平面SAB，平面SAB∩α=DG，
所以SA∥DG，同理SA∥EF，所以DG∥EF，同理若BC∥α时得到GF∥DE，因为截面是梯形，所以只能有一条棱与之平行.
5.(2014•重庆高一检测)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方形的截面，则截面的面积为( )
A.9 B. C.18 D.
【解题指南】由点、线、面的位置关系作出截面，依据图形求出面积即可.
【解析】选B.如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其中MN= ，CD1=2 .CN=D1M= ，
所以梯形的高为h= = ，
所以S= ( +2 )× = .
6.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′=2∶5，求△A′B′C′与△ABC的面积比为( )
A.2∶5 B.2∶7 C.4∶49 D.9∶25
【解题指南】相似三角形面积之比等于边长之比的平方.
【解析】选C.因为平面α∥平面ABC，平面α∩平面PAB=A′B′，
平面ABC∩平面PAB=AB，
所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB=PA′∶PA.
又PA′∶AA′=2∶5，所以A′B′∶AB=2∶7.
同理B′C′∶BC=2∶7，A′C′∶AC=2∶7，
所以△A′B′C′∽△ABC，
所以S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________.
【解析】由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，由平面与平面平行的性质知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似.
答案：相似
8.(2014•吉安高二检测)如图正方体ABCD-A1B1C1D1中过BD1的平面，分别与AA1，CC1交于M，N，则四边形BND1M的形状为________.
【解析】设过BD1的平面为α，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，α∩平面ABB1A1=BM，α∩平面CDD1C1=D1N，
所以BM∥D1N，同理可得BN∥D1M，
所以四边形BND1M为平行四边形.
答案：平行四边形
9.(2013•汉中高一检测)已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=6，而 = ，则AC=________.
【解析】三平行平面截空间两条直线所得线段成比例，
则 = ；而 = ，
所以 = ，所以 = ，
所以BC=9，所以AC=AB+BC=15.
答案：15
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014•成都高二检测)平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外且在平面α的一侧，AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.
【证明】因为四边形A′B′C′D′是平行四边形，
所以A′D′∥B′C′，因为AA′∥BB′，且AA′，A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C，又因AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，故AD∥BC，同理可证AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形.
11.如图，ABCD -A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点.求证：BD1∥平面C1DE.
【解题指南】证线面平行，可转化为面面平行，方法一过BD1作平行平面或转化为线线平行，方法二在面内找一平行线.
【证明】方法一：如图所示，取AD的中点M，连接MB，MD1，ME，则有ME CD，C1D1 CD，
所以ME C1D1，
所以四边形MEC1D1是平行四边形，
所以C1E∥D1M，
又C1E⊈平面MBD1，
D1M 平面MBD1，所以C1E∥平面MBD1，
又DM BE，
所以四边形BEDM是平行四边形，所以DE∥BM，
又DE⊈平面MBD1，BM 平面MBD1，
所以DE∥平面MBD1，
又DE 平面C1DE，C1E 平面C1DE，
DE∩C1E=E，
所以平面C1DE∥平面MBD1，
又BD1 平面MBD1，BD1⊈平面C1DE，
所以BD1∥平面C1DE.
方法二：如图所示，连接CD1，交DC1于点F，连接EF，则点F是D1C的中点，
又E是棱BC的中点，
所以EF∥BD1，
又BD1⊈平面C1DE，
EF 平面C1DE，
所以BD1∥平面C1DE.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，则过点A1作与截面PBC1平行的截面为( )
A.三角形
B.梯形
C.矩形
D.平行四边形
【解析】选D.作出截面如图所示平面A1ECF，其中E，F分别为AB，C1D1的中点.由正方体中相对面互相平行，利用面面平行的性质定理可证四边形为平行四边形.
2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【解析】选A.因为平面α∥平面BC1E，
平面α∩平面AA1B1B=A1F，
平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，
所以A1F∥BE，又A1E∥BF，
所以四边形A1EBF是平行四边形，
所以A1E=BF=2，AF=1.
3.M，N，P为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列说法中，不正确的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【解析】选B.①，④分别是直线和平面平行的传递性，正确；②中a与b还可能异面或相交；③中M与N还可能相交.
【拓展延伸】“平行”关系结论大荟萃
空间的平行关系，有些具有“传递性”，有些不具有，本题中的各种说法用文字描述为：
①平行于同一条直线的两条直线平行.
②平行于同一个平面的两条直线不一定平行.
③平行于同一条直线的两个平面不一定平行.
④平行于同一个平面的两个平面平行.
⑤平行于同一个平面的直线与平面不一定平行.
4.(2014•杭州高二检测)设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=( )
A.68 B. C.68或 D.52
【解题指南】本题有两种情况，(1)交点S在两平面之间，(2)交点S在两平面同侧.
【解析】选C.如图(1)所示，AB，CD交于S，
因为α∥β，所以AC∥BD.
所以 = ，
即 = ，故CS= .
如图(2)所示，AB，CD交于S，因为α∥β，
所以AC∥BD，所以 = ，
即 = 得CS=68.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2014•宿迁高一检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N=N，若AN=mAC，则m=________.
【解析】因为平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M=AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N，
所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN=C1M= A1C1= AC，
所以N为AC的中点，m= .
答案：
【变式训练】如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________.
【解析】由平行投影定义知，AA1∥BB1，而ABCD所在的平面与平面α平行，则AB∥A1B1，所以四边形ABB1A1为平行四边形，同理四边形CC1D1D为平行四边形，所以AB CD，从而四边形ABCD为平行四边形.
答案：平行四边形
6.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF=G，ED与AF相交于点H，则GH=________.
【解题指南】先证明点H是DE的中点，再由平面AGF∥平面PEC推出GH∥PE，最后在等边三角形PAB中求PE，利用三角形中位线的性质求GH.
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB=CD.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以AE=FD，又∠EAH=∠DFH，∠AEH=∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，所以EH=DH.
因为平面AGF∥平面PEC，
平面PED∩平面AGF=GH，
平面PED∩平面PEC=PE，
所以GH∥PE，又由H是DE的中点，
所以G是PD的中点.
因为PA=PB=AB=2，所以PE=2×sin60°= ，
所以GH= PE= .
答案：
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图.
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E=EF=FC.
【解析】(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D 平面C1BD，AB1⊈平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1=B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1 平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，
则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD=C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，
即A1E=EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF=FE，
所以A1E=EF=FC.
8.如图，线段PQ分别交两个平行平面α，β于A，B两点，线段PD分别交α，β于C，D两点，线段QF分别交α，β于F，E两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.
【解题指南】求△BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知△ACF的面积，若△BDE与△ACF的对应边有联系的话，可以利用△ACF的面积求出△BDE的面积.
【解析】因为平面QAF∩α=AF，平面QAF∩β=BE，
又α∥β，所以AF∥BE.同理可证：AC∥BD，
所以∠FAC与∠EBD相等或互补，
即sin∠FAC=sin∠EBD.
由FA∥BE，得BE∶AF=QB∶QA=12∶24=1∶2，
所以BE= AF.
由BD∥AC，得AC∶BD=PA∶PB=9∶21=3∶7，
所以BD= AC.
又因为△ACF的面积为72，
即 AF•AC•sin∠FAC=72.
所以S△DBE= BE•BD•sin∠EBD
= • AF• AC•sin∠FAC
= • AF•AC•sin∠FAC= ×72=84.
所以△BDE的面积为84.
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