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2015-2016学年第一学期八县（市）一中期中联考
高中 二 年 数学（理） 科试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知数列1， ， ， ，…， ，…，则 是它的( )
A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项
2．下列命题正确的是( )
A．若 ,则 B．若 ,则
C．若 ,则 D．若 , ,则
3. 在 中, ,则此三角形解的情况是（ ）
A.两解 B. 一解 C. 一解或两解 D.无解
4．不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S25＝100，则a12＋a14为( )
A．4 B．8 C．16 D．不确定
6．在△ABC中， ，则该三角形为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．已知等比数列{an}中，a1，a99为方程x2－10x＋4＝0的两根，则a20•a50•a80的值为( )
A．8 B． 8 C．±8 D．±64
8. 已知 ，不等式组 表示的平面区域的面积为1，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．福州青运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后
一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 米
（如下图所示），则旗杆的高度为（ ）米．
A． B．
C．20 D．30
10．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，
则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20 C．19 D．18
11．已知实数 ，且满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
12. 已知四个数 成等差数列，四个数 成等比数列，则点 ，
与直线 的位置关系是（ ）
A． ， 都在直线 的下方
B． 在直线 的下方， 在直线 上方
C． 在直线 的上方， 在直线 下方
D． ， 都在直线 的上方
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．设变量x，y满足约束条件 ，则 的最小值为 .
14．在 中，已知角 ，则 外接圆的半径为_______．
15．若关于 的不等式 解集不是空集，则实数 的取值范围是________．
16. 已知数列 共有 项，定义 的所有项和 为 ，第二项及以后所有项和为 ，第三项及以后所有项和为 …，第 项及以后所有项和为 ，若 是首项为1，公比为 的等比数列的前 项和，则当 时， = ．
三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分) 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，
且 ．
(1) 确定角C的大小；
(2) 若 ， ，求边 的值及△ABC的面积．
18. (本小题满分12分) 在数列 中， 为常数， ，
且 成公比不等于1的等比数列.
（1）求 的值；
（ 2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19．(本小题满分12分) 已知 ．
（1）若 的解集为 求实数 的值；
（2）当 时，求关于 的不等式 的解集．
20．（本小题满分12分） 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.
（1）求角B的大小；
（2）若 ，求实数b的取值范围．
21．（本小题满分12分）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润 与投资金额 的函数关系为 ，B产品的利润 与投资金额 的函数关系为 ，(注：利润与投资金额单位：万元)
(1) 该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中 万元资金投入A产品，
试把A，B两种产品利润总和表示为 的函数，并写出定义域；
(2) 试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
22．（本小题满分12分）
已知数列 中，其前 项和 满足 （ ）．
（1）求证：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
（2）设 ， 求数列 的前 项和 ；
（3）设 （ 为非零整数， ）， 试确定 的值，使得对任意 ，有 恒成立．
2015-2016学年第一学期八县（市）一中期中联考
高二数学(理科)答案
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D B C C B D B C A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解： (1) 由已知得，
则 …………………2分
…………………3分
又∵△ABC 为锐角三角形 …………………4分
∴C＝π3. …………………5分
(2)∵C＝π3， ， ，
由余弦定理 得
…………………7分
整理得
解得 或 （舍去）
∴ …………………8分
△ABC面积为 …………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）∵ 为常数，
∴数列 是首项为1，公差为 的等差数列，
………………2分
∴ .
又 成等比数列，∴ ，解得 或 ……………4分
当 时， 不合题意，舍去. ∴ . ………………5分
（2）由（1）知， ………………6分
∴ ………………9分
∴
………………12分
19．（本小题满分12分）
解：(1)由题意可得方程 的两根分别为 ， ，且 ………2分
解得 …………………5分
(2) 当 时，原不等式可化为
即 …………………7分
方程 的两根分别为 …………………8分
当 时，不等式的解集为 …………………9分
当 时，由原不等式解得1＜x＜1a …………………10分
当 时，由原不等式解得1a＜x＜1 …………………11分
综上所述：当0＜a＜1时，原不等式的解集为x1＜x＜1a；
当a＝1时原不等式的解集为 ；
当a＞1时原不等式的解集为x1a＜x＜1. …… …………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理可得 ，代入已知得
………………2分
即
即
∵
∴
故 ，即 ………………4分
∵ ∴ ，
又 ∴ ………………6分
（2）解法一：因为 ， ，
∴ ………………8分
＝ ………………10分
∴ ， ………………11分
又∵
∴ ，即 的取值范围为 ． ………………12分
解法二： 由 ，得
………………8分
…………… …10分
又 ，∴
∴ ，即 的取值范围为 ． ………………12分
21．（本小题满分12分）
解：(1) 其中x万元资金投入A产品，则剩余的100－x(万元)资金投入B产品，…………1分
利润总和f (x)＝18－180x＋10＋100－x5 ………………3分
＝38－x5－180x＋10(x∈[0,100]) …………………5分
(2)∵f (x)＝40－x＋105＋180x＋10，x∈[0 ,100]， …………………7分
∴由基本不等式得： ……………9分
当且仅当x＋105＝180x＋10时，即x＝20时等号成立 ………………11分
答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，
最大利润为28万元． ………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）当 时， ， ∴ ………………1分
当 时，
两式相减得
即 ………………3分
∴数列 是以 为首项，公比为2的等比数列．
∴ ……………4分
（2）由（Ⅰ）知 ，它的前 项和为
………………7分
………………8分
（3）∵ ，∴ ，
∴ 恒成立，
∴ 恒成立． ………………10分
（ⅰ）当 为奇数时，即 恒成立当且仅当 时， 有最小值为1，∴ ．
（ⅱ）当 为偶数时，即 恒成立当且仅当 时， 有最大值 ，∴ ．
即 ，又 为非零整数，则 ．
综上所述，存在 ，使得对任意 ，都有 ． …………12分