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江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期中考试
高一年级数学试卷
一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）
1．已知集合 若 .
2．函数 的定义域是 .
3．函数 ，则 .
4．函数 值域为 .
5． .
6．若函数 的图像与 轴有两个交点，则实数 的取值范围是 .
7．方程 的根 ， ，则 .
8．对 ,记 函数 的最小值
是 .
9．函数 图象恒过定点 , 在幂函数 图象上，则 ．
10．函数 是定义在 上的偶函数，则 .
11．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，那么不等式 的解集是 .
12．函数 满足 对定义域中的任意两个不相等的 都成立，则 的取值范围是 .
13．已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意实数 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是 .
14．已知函数 ，若 ，
且 ，则 .
二、解答题：(本大题包括6小题，共90分. 请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程)
15.(本题满分14分)设全集 且 ， 且 ，求实数 的值.
16．(本题满分14分) 已知集合 ， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实 数 的取值范围．
17. (本题满分15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示。（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式 ；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式 ；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？为多少？
18．(本题满分15分) 已知定义在 上的函数
（1）判断并证明函数 的单调性；
（2 ）若 是奇函数，求 的值；
（3）若 的值域为D，且 ，求 的取值范围．
19.（本题满分16分)已知二次函数 满足 且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）令
①若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围；
②求函数 在 的最小值．
20．（本题满分16分)已知函数 （ ）在区间 上有最大值 和最小值 ．设 ．
（1）求 、 的值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围．
江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期中考试
高一年级数学试卷答案
一、填空题：
1． 2． 3．2 4． 5．19 6． 7．1 8． 9． 10．3
11． 12． 13． 14．2
二、解答题：
15.解：∵ ，∴ ；将 带入 得： ；
∴ ， ；
又∵ ，∴ ，将 带入 得： ；
∴
适合 ；所以得： ，
16.解：（1）∵ ， ， ∴ ．
（2） ∵ ∴ ．
① , ,∴ ．
② ,则 ，即 或 ∴ ．
综上， 或
17.解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为
由图2可得种植成本与时间的函数关系为
（2）设 时刻的纯收益为 ，则由题意得 ，
即
当 时，配方整理，得
∴当 时， 取得区间 上的最大值100；
当 时，配方整理，得
∴当 时， 取得区间 上的最大值87.5；
综上可知 在区间 上可以取到最大值100，此时， ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大100。
18.解：（1）判断：函数 在 上单调递增
证明：设 且
则
即
在 上单调递增
（2） 是 上的奇函数
即
（3） 由
的取值范围是
19. 解（1）由条件设二次函数 ，
则
，
又
∴函数的解析式为 ．
（2）①∵ ，
∴ ，
而 在 上是单调函数，
∴对称轴 在[0，2]的左侧或右侧，∴ 或 ．
② ，对称轴 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ．
综上所述：
20．解：（1） ，
因为 ，所以 在区间 上是增函数，
故 ，解得 ．
（2）由已知可得 ，
所以 可化为 ，
化为 ，令 ，则 ，
因 ，故 ，
记 ，因为 ，故 ，
所以 的取值范围是 ．
（3）原方程可化为 ，
令 ，则 ，
有两个不同的实数解 ， ，
其中 ， ，或 ， ．
记 ，则 ① 或 ②
解不等组①，得 ，而不等式组②无实数解．所以实数 的取值范围是 ．