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2015-2016学年山东省枣庄市薛城区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里。每小题3分，共36分
1．计算 的结果是( )
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
2．要使二次根式 有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞0 B．x≤2 C．x≥2 D．x≥﹣2
3．在三边长分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．5，13，12 B．2，3， C．1， ， D．4，7，5
4．在（﹣2）0、 、0、﹣ 、 、 、0.101001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
②a可以用数轴上的一个点来表示；
③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，正确说法有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
7．以下描述中，能确定具体位置的是( )
A．万达电影院2排 B．距薛城高铁站2千米
C．北偏东30℃ D．东经106℃，北纬31℃
8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
9．对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论正确的是( )
A．函数值随自变量的增大而增大
B．函数的图象经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
10．已知点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为4，那么点N的坐标是( )
A．（4，﹣2）或（﹣5，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，2）或（﹣4，2） D．（4，2）或（﹣1，2）
11．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（﹣10，20）表示的位置是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
12．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是( )
A．y=2x+3 B．y=x﹣3 C．y=2x﹣3 D．y=﹣x+3
二、填空题，每小题4分，共24分
13．若a＜ ＜b，且a、b为连续正整数，则（a+b）2=__________．
14．计算：（ + ）2﹣ =__________．
15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是__________．
16．若直角三角形的两边长为a、b，且 +|b﹣8|=0，则该直角三角形的斜边长为__________．
17．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为__________cm．（结果保留π）
18．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；
（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）
按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]=__________．
三、解答题（共7道题，共60分）
19．计算：
（1）（ ）× ﹣2 ；
（2）（3 ﹣4 ）÷ ．
20．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）﹣4a，其中a= ﹣1．
21．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，如果用（﹣2，﹣1）表示C点的位置，用（1，0）表示B点的位置，那么：
（1）画出直角坐标系；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的图形△DEF；
（3）分别写出点D、E、F的坐标．
23．已知一次函数y=kx﹣3，当 x=2时，y=3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点（a，2）在该函数的图象上，求a的值；
（3）将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．
24．勾股定理神秘而每秒，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的”面积法“给小聪明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=b﹣A．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a（b﹣a）
∴ b2+ ab= c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2．
证明：连结__________
∵S多边形ACBED=__________
又∵S多边形ACBED=__________
∴__________
∴a2+b2=c2．
25．在”美丽薛城，清洁乡村”活动中，东小庄村村长提出了两种购买垃圾桶方案：
方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；
方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元；
设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．
（1）直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；
（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，根据图象回答：
①若使用时间为7个月，哪种方案更省钱？
②若该村拿出6000元的费用，哪种方案使用的时间更长？
2015-2016学年山东省枣庄市薛城区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里。每小题3分，共36分
1．计算 的结果是( )
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式=|﹣3|=3．
故选：B．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
2．要使二次根式 有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞0 B．x≤2 C．x≥2 D．x≥﹣2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．在三边长分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是( )
A．5，13，12 B．2，3， C．1， ， D．4，7，5
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵22+（ ）2=32，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+（ ）2=（ ）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵42+52≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
4．在（﹣2）0、 、0、﹣ 、 、 、0.101001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限 小数和无限循 环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数有： ， ，0.101001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共3个．
故选B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
②a可以用数轴上的一个点来表示；
③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，正确说法有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】实数．
【分析】先根据勾股定理求出a的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，
∴a= = =3 ．
①∵3 是无理数，∴a是无理数，故本小题正确；
②∵任何数都可以用数轴上的一个点来表示，∴a可以用数轴上的一个点来表示，故本小题正确；
③∵4＜18＜25，∴2＜ ＜5，即2＜a＜5，故本小题错误；
④∵a= ，∴a是18的算术平方根，故本小题正确．
故选B．
【点评】本题考查的是实数，熟知实数与数轴的关系是解 答此题的关键．
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
【考点】勾股定理．
【专题】数形结合．
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=9+25+4+9=47．
故选：C．
【点评】能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
7．以下描述中，能确定具体位置的是( )
A．万达电影院2排 B．距薛城高铁站2千米
C．北偏东30℃ D．东经106℃，北纬31℃
【考点】坐标确定位置．
【分析】在数轴上，用一个数据就能确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，要用两个数据才能表示一个点的位置；在空间内要用三个数据才能表示一个点的位置．
【解答】解：A、万达电影院2排，不能确定位置；
B、距薛城高铁站2千米，不能确定位置；
C、北偏东30℃，不能确定位置；
D、东经106℃，北纬31℃，能确定位置．
故选D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，是数学在生活中应用，平面位置对应平面直角坐标系，空间位置对应空间直角坐标系．可以做到在生活中理解数学的意义．
8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的斜边是竹竿的长，设为x米．一条直角边是1.5，另一条直角边是（x﹣0.5）米．根据勾股定理，得：x2=1.52+（x﹣0.5）2，x=2.5．那么河水的深度即可解答．
【解答】解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，
x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5
所以水深2.5﹣0.5=2米．
故选A．
【点评】此题的难点在于能够理解题意，正确画出图形．
9．对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论正确的是( )
A．函数值随自变量的增大而增大
B．函数的图象经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
【考点】一次函数的性质．
【分析】分别根据一次函数的性质、一次函数的图象与几何变换及一次函数与x轴的交点对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵一次函数y=﹣2x+4中，k=﹣2＜0，∴函数值随自变量的增大而减 小，故本选项错误；
B、∵一次函数y=﹣2x+4中，k=﹣2＜0，b=4＞，∴函数的图象不经过第三象限，故本选项错误；
C、∵一次函数y=﹣2x+4向下平移4个单位长度的解析式为y=﹣2x+4﹣4=﹣2x，故本选项正确；
D、一次函数y=﹣2x+4与x轴的交点坐标为（2，0），故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
10．已知点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为4，那么点N的坐标是( )
A．（4，﹣2）或（﹣5，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，2）或（﹣4，2） D．（4，2）或（﹣1，2）
【考点】坐标与图形性质．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得点N的纵坐标为2，再分点N在y轴的左边和右边两种情况求出点N的横坐标，然后解答即可．
【解答】解：∵点M（3，2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，
∴点N的纵坐标为2，
∵点N到y轴的距离为4，
∴点N的横坐标为4或﹣4，
∴点N的坐标为（4，2）或（﹣4，2）；
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，难点在于分情况讨论．
11．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（﹣10，20）表示的位置是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据点在平面直角坐标系中的确定方法解答即可．
【解答】解：∵点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，
∴（﹣10，20）表示的位置是点A．
故选A．
【点评】本题考查 了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系中点的位置的确定方法，是基础题．
12．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是( )
A．y=2x+3 B．y=x﹣3 C．y=2x﹣3 D．y=﹣x+3
【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．
【专题】数形结合．
【分析】根据正比例函数图象确定B点坐标再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出．
【解答】解：∵B点在正比例函数y=2x的图象上，横坐标为1，
∴y=2×1=2，
∴B（1，2），
设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），
∴可得出方程组 ，
解得 ，
则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，即可写出解析式．
二、填空题，每小题4分，共24分
13．若a＜ ＜b，且a、b为连续正整数，则（a+b）2=49．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】首先得出3＜ ＜4，进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵a＜ ＜b，且a、b为连续正整数，
∴3＜ ＜4，则a=3，b=4，
故（a+b）2=（3+4）2=49．
故答案为：49．
【点评】此题主要考查了估计无理数大小，正确得出a，b的值是解题关键．
14．计算：（ + ）2﹣ =5．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算．
【解答】解：原式=2+2 +3﹣2
=5．
故答案 为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．
15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2）．
【考点】坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
16．若直角三角形的两边长为a、b，且 +|b﹣8|=0，则该直角三角形的斜边长为8或10．
【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【分析】任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；另外已知直角三角形两边a、b的长，分类讨论即可求出斜边长．
【解答】解 ：∵ +|b﹣8|=0，
∴a2﹣12a+36=（a﹣6）2=0，b﹣8=0，
∴a=6，b=8，
分两种情况：
①在直角三角形中，当b为最长边时，斜边长=8；
②在直角三角形中，当a和b为两条直角边长时，
斜边长= =10；
综上所述，该直角三角形的斜边长为8或10；
故答案为：8或10．
【点评】本题考查了勾股定理，绝对值、算术平方根的非负性质，考查了分类讨论思想；本题中讨论边长为8的边是直角边还是斜边是解题的关键．
17．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为3 cm．（结果保留π）
【考点】平面展开-最短路径问题．
【专题】压轴题．
【分析】根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长的1.5倍，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，
∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，BC=3cm，
由勾股定理得：AC= = =3 cm．
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．
18．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；
（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）
按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]=（3，2）．
【考点】点的坐标．
【专题】新定义．
【分析】由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化．
【解答】解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），
∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．
三、解 答题（共7道题，共60分）
19．计算：
（1）（ ）× ﹣2 ；
（2）（3 ﹣4 ）÷ ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，再合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：（1）原式=（5 ﹣8 ）× ﹣
=﹣3 × ﹣
=﹣3 ﹣
=﹣4 ；
（2）原式=（9 + ﹣2 ）÷4
=8 ÷4
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简 二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）﹣4a，其中a= ﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2﹣4+4a+4﹣4a=a2，
当a= ﹣1时，原式=3﹣2 ．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】探究型．
【分析】在Rt△DCE中利用勾股定理求出CE的长即可解答
【解答】解：在Rt△DCE中，
∵DE=AB=2.5m，CD=2m，
∴CE= = =1.5m．
∴BE=CE﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m．
答：梯子底端B应再向左拉0.8m．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，如果用（﹣2，﹣1）表示C点 的位置，用（1，0）表示B点的位置，那么：
（1）画出直角坐标系；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的图形△DEF；
（3）分别写出点D、E、F的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据B、C的位置作出直角坐标系；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；
（3）根据直角坐标系的特点写出点D、E、F的坐标．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
（2）所作图形如图所示：
（3）D（3，1），E（﹣1，0），F（2，﹣1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
23．已知一次函数y=kx﹣3，当x=2时，y=3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点（a，2）在该函数的图象上，求a的值；
（3）将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）把x=a，y=2代入解析式解答即可；
（3）根据一次函数的几何变换得出解析式，再求出交点坐标即可．
【解答】解：（1）把x=2，y=3代入y=kx﹣3中，
可得：3=2k﹣3，
解得：k=3，
所以一次函数的解析式为：y=3x﹣3；
（2）把x=a，y=2代入y=3x﹣3中，
可得：3a﹣3=2，
解得：a= ；
（3）一次函数y=3x﹣3的图象向上平移7个单位后的解析式为：y=3x﹣3+7=3x+4，
把x=0，y=0代入y=3x+4中，
可得图象与坐标轴的交点坐标为（0，4），（ ，0）
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象与几何变换．解题的关键是待定系数法求函数解析式．
24．勾股定理神秘而每秒，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的”面积法“给小聪明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=b﹣A．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a（b﹣a）
∴ b2+ ab= c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2．
证明：连结BD
∵S多边形ACBED= + b2+ ab
又∵S多边形ACBED= ab+ c2+ a（b﹣a）
∴ + b2+ ab= ab+ c2+ a（b﹣a）
∴a2+b2=c2．
【考点】勾股定理的证明．
【分析】连接BD，多边形ACBED的面积=△ABC的面积+△ABE的面积+△ADE的面积= + b2+ ab，多边形ACBED的面积=△ABC的面 积+△ABD的面积+△BDE的面积= ab+ c2+ a（b﹣a），得出 + b2+ ab= ab+ c2+ a（b﹣a），即可得出结论．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵多边形ACBED的面积=△ABC的面积+△ABE的面积+△ADE的面积= + b2+ ab，
又∵多边形ACBED的面积=△ABC的面积+△ABD的面积+△BDE的面积= ab+ c2+ a（b﹣a），
∴ + b2+ ab= ab+ c2+ a（b﹣a），
整理得：a2+b2=c2．
故答案为：BD， + b2+ ab， ab+ c2+ a（b﹣a）， + b2+ ab= ab+ c2+ a（b﹣a）．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、三角形面积的计算方法、多边形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的证明方法，运用面积法证明勾股定理是常用的方法．
25．在”美丽薛城，清洁乡村”活动中，东小庄村村长提出了两种购买垃圾桶方案：
方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；
方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元；
设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．
（1）直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；
（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，根据图象回答：
①若使用时间为7个月，哪种方案更省钱？
②若该村拿出6000元的费用，哪种方案使用的时间更长？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据总费用=购买垃圾桶的费用+每月的垃圾处理费用×月份数，即可求出y1、y2与x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质，运用两点法即可画出函数y1、y2的图象；
（3）观察图象可知：当使用时间为7个月时，方案1省钱；当该村拿出6000元的费用时，方案2使用的时间更长．
【解答】解：（1）由题意，得y1=250x+3000，y2=500x+1000；
（2）如图所示：
（3）由图象可知：①当使用时间为7个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2＜y1，即方案2省钱；
②当该村拿 出6000元的费用时，x1=12，x2=10，即方案1使用的时间更长．
【点评】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．解题的关键是根据题意列出函数关系式，再结合图象求解．注意数形结合思想的运用．