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第9章中心对称图形——平行四边形检测题
【本检测题满分：100分，时间：90分钟】
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.一组对角相等 B.对角线互相平分
C.一组对边相等 D.对角线互相垂直
2.（2015•广州中考）将题图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )
3.有下列四个命题:
(1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(2)两条对角线相等的四边形是菱形；
(3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形；
(4)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.下列说法中，正确的是（）
A.平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形
B.正方形的对角线互相垂直平分且相等
C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D.菱形的对角线相等
5.如图所示的一个旋转对称图形，以点O为旋转中心，以下列哪一个为旋转角度数，能使旋转后的图形与原图形重合（）
A．60° B．90° C．120° D．180°
6.(2015•山东青岛中考)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点，E,F分别是AB,BC边上的中点，连接EF，若EF＝ ，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B． C． D．28
7.(2015•山东德州中考)如图，在△ABC中，∠CAB＝65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A.35° B.40° C.50° D.65°
8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
9.如图，将一个长为 ，宽为 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点
的连线（虚线）剪下，再打开，得到的小菱形的面积为（ ）
A. B.C.D.
10.如图,是一张矩形纸片 ， ，若将纸片沿 折叠，使 落在 上，点 的对应点为点 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
11.已知三角形的三条中位线的长分别是3,4,6，则这个三角形的周长为( ）
A．6.5 B．13 C．24 D．26
12.有下列命题：
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形；
（2）邻边相等的矩形一定是正方形；
（3）对角线相等的四边形是矩形；
（4）三角形中至少有两个角是锐角；
（5）菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍.
其中正确命题的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图，在四边形 中， , , , 分别是 , , , 的中点，请添加一个与四边形 对角线有关的条件,为，使四边形 是特殊的平行四边形，
为形.
14.（2015•山东潍坊中考）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝50，AB=20，
∠B=60°，则AD=_______.
15.如图，在菱形 中，对角线AC,BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形 成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）．
16.如图所示，矩形 的对角线 ， ，则图中五个小矩形的周长之和
为_______．
17.观察下列图形，其中轴对称图形有，旋转对称图形有，中心对称图形有（只填对应序号）.
三、解答题（共49分）
18.（6分）如图， 是△ 的一条角平分线，DK∥AB交BC于点E，且DK=BC，连接BK，CK，得到四边形DCKB，当 时，请判断四边形DCKB是哪种特殊四边形，并说明理由．
19.（6分）如图，在四边形 中， ∥ ， ， ,求四边形 的周长．
20.（6分）（2015•河北中考）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证.
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
证明：
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为_______________________________________.
21.（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，且BF=DE.
求证：AE=CF.
22.（8分）(2015•广东中考)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长.
23.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB,CD于点E,F,连接CE,AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF=4，OF︰OA=2︰5，求四边形AECF的面积．
24.（8分）如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB,EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数．
第9章 中心对称图形——平行四边形检测题参考答案
1.B 解析：由平行四边形的判定定理知选项B正确.
2.D解析：根据图形旋转的性质可知D正确.
3.D 解析：只有（1）正确，（2）（3）（4）错误.
4.B 解析：A选项中平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形；C选项中矩形是轴对称图形，但对称轴有两条；D选项中菱形的对角线互相垂直，但不一定相等.
5.C 解析：O为圆心，将△ABC的三个顶点与点O连接，
即可得到 ，
所以旋转120°后与原图形重合．故选C．
6.C解析：∵E,F分别是AB,BC边上的中点，∴AC=2EF=2 .
∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA= ，OB= ，AC⊥BD.
∴在Rt△AOB中，AB= ，
∴菱形ABCD的周长为 .
7.C解析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝65°.∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，∴∠CAC′＝180°－2∠ACC′＝180°－2×65°＝50°，∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°,故选C．
8.C 解析：根据矩形、菱形、正方形的性质解题.
9.A解析：由题意知 4 ， 5 ，∴ .
10.A 解析：由折叠的性质知 ，四边形 为正方形，
∴ .
11.D解析：∵三角形的三条中位线的长分别是3，4，6，
∴三角形的三条边长分别是6，8，12．
∴这个三角形的周长=6+8+12=26．故选D．
点评：此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12.C解析：分别根据等腰三角形的判定、正方形的判定、矩形的判定、三角形内角和定理以及菱形的性质来判断即可得出答案．
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，根据等腰三角形的判定得出此命题正确.
（2）邻边相等的矩形一定是正方形，根据正方形的判定得出此命题正确.
（3）对角线相等的四边形也可能是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，故此命
题错误.
（4）三角形中至少有两个角是锐角，根据三角形内角和定理得出
此命题正确.
（5）如图所示，∵菱形的对角线互相垂直，∴ .
∵ ，
∴ 菱形对角线长的平方和等于边长平方的4倍，故此命题正确.
因此正确的命题有4个，故选C．
13.对角线相等菱解析：如图，连接 ，
∵ 分别是 的中点，
∴ , ，
∴ ，∴四边形 是平行四边形.
∵ ，∴ ，
∴平行四边形 是菱形.
点拨：本题主要考查对三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出中点四边形是平行四边形是解此题的关键．
14. 30解析：如图所示，过点D作DE∥AB交BC于点E，因为AD∥BC，
所以四边形ABED为平行四边形，所以AD=BE，DE=AB.
因为梯形ABCD为等腰梯形，所以AB=DC.所以DE=DC.
因为DE∥AB，所以∠DEC=∠B=60°，
所以△DEC为等边三角形，所以EC=DC=20.
因为BC=50，所以AD=BE=30.
15.∠BAD=90°或AD⊥AB或AC=BD(答案不唯一)
16.28解析：由勾股定理得 ，又 ， ，所以 所以五个小矩形的周长之和为
17.③⑤⑥①②③④⑥③④⑥
解析：轴对称图形有③⑤⑥；旋转对称图形有①②③④⑥；
中心对称图形有③④⑥.
点评：本题考查了中心对称图形、旋转对称图形及轴对称图形的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握各图形的特点．
18.解：∵ 平分 ，∴ .
∵ ，∴ .
∴ .∴ .
∵ ，∴ .∴ .
∵ ，
∴ ,∴ .
∵ ,∴ △ ≌△ ,∴ .
当 时，四边形 是矩形．
理由如下：∵ ， 平分 ,
∴ 与 垂直，∴ ∠DBK=∠BDC=90°,
∴CD BK.∴ 四边形 是矩形.
点拨：此题考查了学生对矩形的判定的理解及运用．
19.解：∵ ∥ ，∴ .
又∵ ，∴ ∠ , ∴ ∥ ,
∴ 四边形 是平行四边形 , ∴
∴ 四边形 的周长.
20.解：（1）CD平行
（2）证明：连接BD.
在△ABD和△CDB中，
∵AB=CD,AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
（3）平行四边形的对边相等.
21.证明:∵四边形 是平行四边形,∴
∴ .
在 和 中， ，
∴ ，∴ .
22. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB.
由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，AB=AF，
∴∠AFG=∠B=90°.又AG=AG，
∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解：∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG.
设BG=FG=x，则GC=6－x.
∵E为CD的中点，
∴CE=DE=EF＝3，∴EG=x+3，
在Rt△ECG中， ，
即 ，
解得x=2.
∴BG的长为2.
23.（1）证明：∵ ，∴ ．
在 和 中，
∴ ，∴ .
又∵ ，∴ 四边形 是平行四边形．
∵ ，∴ 四边形 是菱形．
（2）解： 四边形 是菱形， ，∴ ．
在 中，∵ :OA＝OF:OA＝2:5，∴ ，
∴ ．
∴
24.（1）证明：∵ 四边形 是正方形，
∴ ∠ ∠ ， ．
∵△ 是等边三角形，∴ ∠ ∠ ， ．
∵∠ ∠ ，∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ．
∵ ，∠ ∠ ，∴△ ≌△ ．
（2）解：∵ △ ≌△ ，∴ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ．
∵ ，∴∠ ∠ ．
∵ ∠ ，∴ ∠ ，∴ ∠ ．