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第一章三角形的证明检测题
（本试卷满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最短边是底边；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；
⑤等腰三角形都是锐角三角形.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在△ABC中， ，点D在AC边上，且 ，则∠A的度数为（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
4.（2015•湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
5.如图，已知 ， ， ，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④△ ≌△ ．
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边 cm，则最长边AB的长是（ ）
A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm
7.如图，已知 ， ，下列条件能使△ ≌△ 的 是（ ）
A. B. C. D. 三个答案都是
8.（2015•陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.已知一个直角三角形的周长是 2 ，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积 为（ ）
A.5 B.2 C. D.1
10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果 cm， 那么△ 的周长是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .
12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形.
13.（2015•四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.
14.如图，在△ABC中， ，AM平分∠ ， cm，则点M到AB的距离 是_________.
15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点， FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则
_________， _________.
16.(2015•江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .
17.如图，已知 的垂直平分线交 于点 ，则 .
18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为 度.
三、解答题（共46分）
19.（6分）如图，在△ABC中， ， 是 上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠ 的平分线于点D，求证： .
20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.
应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝ AB，求∠APB的度数.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA
的长.
21.（6分）如图所示，在四边形 中， 平分∠ .
求证： .
22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若 ，求BE的长.
23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中， ，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
第24题图
24.（8分）（2015•陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.
25.（8分）已知：如图， ， 是 上一点， 于点 ， 的延长线交 的延长线于点 .求证：△ 是等腰三角形．
第一章三角形的证明检测题参考答案
1.B 解析：只有②④正确.
2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴
∴ BC边上的高=
∵ AD平分∠BAC，∴点D到AB，AC的距离相等，设为h，
则 解得
解得 故选A．
3.B 解析：因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 ，
所以 所以
4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.
5.C 解析：因为 ，
所以△ ≌△ （ ），
所以 ，
所以 ，
即 故③正确.
又因为 ，
所以△ ≌△ （ASA），
所以 ，故①正确.
由△ ≌△ ，知 ，
又因为 ，
所以△ ≌△ ，故④正确.
由于条件不足，无法证得②
故正确的结论有：①③④.
6.D 解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，
所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.
又因为最短边 cm，则最长边 cm.
7.D 解析：添加A选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等；
添加B选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D．
8.D 解析：在△ABC中，∵ ∠A=36°，AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD=36°，
∴ ∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°，
∴ ∠C＝∠CDB，∴ △ABD，△CBD都是等腰三角形.
∴ BC=BD.∵ BE=BC，∴ BD=BE，
∴ △EBD是等腰三角形，
∴ ∠BED＝ = ＝72°.
在△AED中，∵ ∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴ ∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴ ∠ADE=∠A =36°，∴ △AED是等腰三角形.
∴ 图中共有5个等腰三角形.
9.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中
因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以
又因为直角三角形的周长是 ，所以 .
两边平方，得 ，即 .
由勾股定理知 ，
所以 ，所以 .
10.D 解析：因为 垂直平分 ，所以 .
所以△ 的周长 （cm）.
11.100° 解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，
所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，
得∠BOA=∠COA=
∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.
所以∠OBC=∠OCB= =40°.
由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.
12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三
角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.
13.15 解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.
因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，
所以∠DBE＝∠A＝50°.
所以∠DBC＝65°－50°＝15°.
14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.
15. 1∶3 解析：因为 ，F是AB的中点，所以 .
在Rt△ 中，因为 ，所以 .
又 ，所 .
16.4∶3 解析：如图所示，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，
垂足分别为点M和点N.
∵ AD平分∠BAC，∴ DM＝DN.
∵ AB×DM，
AC×DN，
∴ . 第16题答图
17. 解析:∵ ∠BAC=120 ，AB=AC，
∴ ∠B=∠C=
∵ AC的垂直平分线交BC于点D，∴ AD=CD.
∴
∴
18. 85 解析:∵ ∠BDM=180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°，
∴ ∠BMD=180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°.
19.证明：∵ ，
∴ ∥ ，∴ .
又∵ 为∠ 的平分线，
∴ ，∴ ，
∴ .
20. 解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.
∵ CD为等边三角形的高，∴ AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴ ∠PBD＝∠PBC＝30°，∴
∴
∴
与已知PD＝ AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA＝PB，由PD＝ AB，得PD＝BD，∴ ∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.
探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴ x ＝ ，即PA＝ .
若PA＝PC，则PA＝2.
若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA＝2或 .
21.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，
过点D作 于点F.
因为BD平分∠ABC，所以 .
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.
所以∠ =∠ .
因为∠ ∠ 80°，
所以∠ .
22.解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，
所以 ，∠ ∠ 60°.
所以∠ ∠ ∠ ∠ ，
即∠ ∠ .
在△ 和△ 中，因为
所以△ ≌△ ，所以 .
又 ，所以 .
在等腰直角△ 中， ，故 .
23.解： ，BE⊥EC.
证明：∵ ，点D是AC的中点，∴ .
∵ ∠ ∠ 45°，∴ ∠ ∠ 135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠ ∠ .
∴ ∠ ∠ 90°.∴ ⊥ .
24.证明：∵ AE∥BD，∴ ∠EAC＝∠ACB.
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB.∴ ∠EAC＝∠B.
又∵ ∠BAD＝∠ACE＝90°，
∴ △ABD≌△CAE（ASA）.∴ AD＝CE.
25.证明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ 于点 ，∴ ∠ ∠ ．
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.