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第一节 曲线运动、运动的合成与分解
一、单项选择题
1.(2010年高考江苏卷)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：选A.设铅笔的速度为v，如图所示橡皮的速度分解成水平方向的v1和竖直方向的v2.因该过程中悬线始终竖直，故橡皮水平方向的速度与铅笔移动速度相同，即v1＝v.因铅笔靠着线的左侧水平向右移动，故悬线竖直方向长度减小的速度大小与铅笔移动速度的大小相等，则橡皮竖直方向速度的大小也与铅笔移动速度的大小相等，即v2＝v.又因v1、v2的大小、方向都不变，故合速度(即橡皮运动的速度)大小、方向都不变，选项A正确．
2．(2011年广东江门调研)一辆静止在水平地面上的汽车里有一个小球从高处自由下落，下落一半高度时汽车突然向右匀加速运动，站在车厢里的人观测到小球的运动轨迹是图中的( )
解析：选C.开始小球相对观察者是做自由落体运动，当车突然加速时，等效成小球相对汽车向左突然加速，刚开始加速时，水平方向的相对速度较小，随着时间的延长，水平方向的相对速度逐渐增大，故观察者看到的小球运动轨迹应该是C图．
3．(2011年汕头模拟)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人．假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A.dv2v22－v21 B．0
C.dv1v2 D.dv2v1
解析：选C.船过河的时间t＝d/v2，登陆的地点离O点的距离即船在沿河岸方向的位移s＝v1t＝dv1v2.
4.(2011年广东调研)如图所示，一个长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2.则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cosθ
C．v1＝v2tanθ D．v1＝v2sinθ
解析：选C.在此应明确v1、v2分别为A、B两端杆的合速度．将它们分别沿杆方向和垂直于杆方向进行分解如图，因同一杆两端沿杆方向的两分速度相等，即v1∥＝v2∥，v1cosθ＝v2cos(90°－θ)，所以v1＝v2tanθ.
二、双项选择题
5．对质点运动来说，以下说法中正确的是( )
A．加速度恒定的运动可能是曲线运动
B．运动轨迹对任何观察者来说都是不变的
C．当质点的加速度逐渐减小时，其速度不一定逐渐减小
D．作用在质点上的所有力消失后，质点运动的速度将不断减小
解析：选AC.加速度恒定的运动可能是曲线运动，如平抛运动，A正确；运动轨迹对不同的观察者来说可能不同，如匀速水平飞行的飞机上落下的物体，相对地面做平抛运动，相对飞机上的观察者做自由落体运动，B错误；当质点的速度与加速度同向时，即使加速度减小，速度仍增加，C正确；作用于质点上的所有力消失后，质点的速度将不变，D错误．
6.(2011年江苏南京一模)一质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示，已知质点在x方向的分运动是匀速运动，则关于质点在y方向的分运动的描述正确的是( )
A．变速运动
B．先匀速运动后加速运动
C．先加速运动后减速运动
D．先减速运动后加速运动
解析：选AD.质点在x方向的分运动是匀速运动，即在相等的时间内通过的位移相等，在轨迹上取相同的横坐标间隔(相同时间间隔)，如图所示，发现对应的纵坐标先变密后变疏，代表质点在y方向的分运动先减速后加速，选项A、D正确．
7．(2011年成都模拟)河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )
A．船渡河的最短时间是60 s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析：选BD.当船头垂直河岸航行时，渡河时间最短，B正确；从图象甲中可以看出，河宽为d＝300 m，垂直河岸的速度即为船速3 m/s，所以渡河的最短时间t＝d/v＝100 s，A错误；由于河水流速是变化的，所以合速度的方向不断变化，所以船的运动轨迹为曲线，C错误；船在河水中的最大速度为船在静水中的速度和水流的最大速度的矢量和，为5 m/s，D正确．
8．如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角一直减小
解析：选AD.因为做匀变速曲线运动，故合外力的大小和方向不变，由轨迹知质点由C点到D点的运动合力与速度夹角小于90°，故速度增大，选项A正确，C错误．A点速度方向沿该点切线，合力的方向与B点的切线垂直，所以A点到D点合力与速度的夹角一直减小，选项D正确．
三、非选择题
9．雨滴在空中以3 m/s的速度竖直下落，人打伞以4 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？(忽略空气阻力)
解析：雨滴相对人的速度方向即为伞柄的指向，雨滴相对于人有向东4 m/s的速度v1，有相对人向下的速度v2＝3 m/s，如图所示，雨相对于人的速度v＝v21＋v22＝5 m/s，α＝53°.可见伞柄应向前倾斜，与竖直方向夹角为53°.
答案：伞柄应向前倾斜，与竖直方向夹角为53°
10.如图所示，一船自A点过河，船速v1，水速v2，河宽s，如船速方向垂直河岸，经10 min船达C点测得BC＝120 m，如船速方向与AB线成θ角，经12.5 min船达到B点，求：
(1)θ角的大小；
(2)水速v2的大小；
(3)船速v1的大小；
(4)河宽s.
解析：船在过河过程中参与两个分运动，一个是船对水的运动，速度就是船速v1；另一个是水对岸的运动，速度就是水速v2.
(1)根据运动的独立性原理和合运动与分运动等时性原理，若河水是静止的，则船以v1由A到B历时10 min，由A到D历时12.5 min
cosθ＝ABAD＝v1t1v1t2＝1012.5＝45
所以θ＝37°或θ＝arccos45.
(2)根据分运动与合运动等时性原理
v2＝BC/t2＝120/600 m/s＝0.2 m/s.
(3)研究v1与AB成θ角的情况，如图所示，v1方向为A指向D，合运动方向为A指向B.
v1sinθ＝v2
所以v1＝0.23/5 m/s＝13 m/s.
(4)由运动的独立性原理
s＝v1t1＝1/3×600 m＝200 m.
答案：(1)37° (2)0.2 m/s (3)13 m/s (4)200 m
1.
(2011年广州质检)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河．河宽为H，河水流速为v0.船在静水中的速率均为v，出发时两船相距为233H.甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示，已知乙船恰好能垂直到达河对岸的A点，则下列判断正确的是( )
A．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B．v＝2v0
C．两船可能在未能到达对岸前相遇
D．甲船也在A点靠岸
解析：选BD.甲、乙两船到对岸的时间由垂直岸的速度v′＝vsin60°＝32v决定，故两船同时达到对岸，选项A错误；因乙船恰好垂直河岸过河，所以vcos60°＝v0，即v＝2v0，选项B正确；甲、乙两船过河时间t＝Hv′＝2H3v＝3H3v0，所以当乙刚到A点时，甲船的水平位移s＝(vcos60°＋v0)•t＝2v0×3H3v0＝233H，故甲船刚好到A点，选项D正确．
2.在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°角，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点时的速度．
解析：(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动．
由牛顿第二定律得：
a＝F－mgm＝15－101 m/s2＝5 m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，
P点坐标为(xP，yP)，
则xP＝v0t，yP＝12at2，
又tanα＝yPxP，
联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m.
(2)质点经过P点时沿y方向的速度vy＝at＝15 m/s.
故P点的速度大小vP＝v20＋v2y＝513 m/s.
设vP方向与x轴成α角，则tanα＝vyv0＝1510＝32，
解得α＝arctan32.
答案：(1)3 s (30 m,22.5 m) (2)513 m/s 与x轴正方向的夹角为arctan32