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命题及其关系、充分条件与必要条件基础练习（附解析2015高考数学一轮）
A组 基础演练
1．(2013•福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件，选A.
答案：A
2．(2014•广州模拟)命题：“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是
( )
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：x2＜1的否定为：x2≥1；－1＜x＜1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
答案：D
3．下列命题中为真命题的是
( )
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
解析：对于A，其逆命题是：若x＞|y|，则x＞y，是真命题，这是因为x＞|y|≥y，必有x＞y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25＞1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2＞0，则x＞0或x＜0，不一定有x＞1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．
答案：A
4．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的
( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，
∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．
答案：C
5．已知p：x≤1，条件q：1x＜1，则p是綈q成立的________条件．
解析：綈q：0≤x≤1.
答案：必要不充分
6．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．，
解析：A＝{x|x＜4}，由题意得A?B结合数轴易得a＞4.
答案：(4，＋∞)
7．(2014•昆明质检)下面有三个命题：
①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集恰有一个元素的充要条件是m＝0或m＝4；
②∃m∈R，使函数f(x)＝mx2＋x是奇函数；
③命题“x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①中，当m＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m＝0时，f(x)＝x显然是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．
答案：②③
8．在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b≥0”，写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定．
解：逆命题：若a2－4b≥0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；
否命题：若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b＜0；
逆否命题：若a2－4b＜0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集；
命题的否定：若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b＜0.
9．(2014•温州模拟)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
解：由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.
q：m－1≤x≤m＋1，
∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴m－1≥1，m＋1≤5.∴2≤m≤4.
B组 能力突破
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“A＜B”是“cos 2A＞cos 2B”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由大边对大角可知，A＜B⇔a＜b.
由正弦定理可知asin A＝bsin B，故a＜b⇔sin A＜sin B.
而cos2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B，
又sin A＞0，sin B＞0，所以sin A＜sin B⇔cos 2A＞cos 2B.所以a＜b⇔cos 2A＞cos 2B，即“A＜B”是“cos 2A＞cos 2B”的充要条件．
答案：C
2．(2013•浙江)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：先判断由f(x)是奇函数能否推出φ＝π2，再判断由φ＝π2能否推出f(x)是奇函数．
若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋kπ(k∈Z)，故φ＝π2不成立；
若φ＝π2，则f(x)＝Acosωx＋π2＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．
答案：B
3．已知不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是13＜x＜12，则m的取值范围是________．
解析：由题意知：“13＜x＜12”是“不等式|x－m|＜1”成立的充分不必要条件．
所以x13＜x＜12是{x||x－m|＜1}的真子集．
而{x||x－m|＜1}＝{x|－1＋m＜x＜1＋m}，
所以有－1＋m≤13，1＋m≥12，解得－12≤m≤43.
所以m的取值范围是－12，43.
答案：－12，43
4．(创新题)已知函数f(x)＝4sin2π4＋x－23cos 2x－1，且给定条件p：x＜π4或x＞π2.
(1)在綈p的条件下，求f(x)的最值；
(2)若条件q：－2＜f(x)－m＜2，且綈p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：(1)綈p：π4≤x≤π2，
又f(x)＝4sin2π4＋x－23cos 2x－1
＝21－cosπ2＋2x－23cos 2x－1
＝1＋2sin 2x－23cos 2x
＝4sin2x－π3＋1，
故当π4≤x≤π2时，π6≤2x－π3≤2π3，
12≤sin2x－π3≤1，
所以3≤f(x)＝4sin2x－π3＋1≤5，
即f(x)的最大值为5，最小值为3.
(2)条件q：－2＜f(x)－m＜2等价为m－2＜f(x)＜m＋2，
由(1)知在綈p的条件下，3≤f(x)≤5，
又綈p是q的充分条件，应满足m－2＜3m＋2＞5，∴3＜m＜5.