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两条直线的位置关系同步训练（含解析2015数学高考一轮）
A组 基础演练
1．(2014•福建泉州一模)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是
( )
A．2 B．22
C．4 D．23
解析：因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4.
答案：C
2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为
( )
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
解析：由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝12，所以直线的方程为y－3＝12(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．
答案：A
3．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为
( )
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
解析：设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2，
∴k＝2或k＝－23.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案：D
4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是
( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝12，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A.
答案：A
5．若两直线x＋ay＋3＝0与3x－2y＋a＝0平行，则a＝________.
答案：－23
6．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________．
解析：由题可知kPQ＝3－a－b3－b－a＝1，又klkPQ＝－1⇒kl＝－1.
答案：－1
7．(2014•江苏启东模拟)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当两条平行直线与A、B两点连线垂直时，两条平行直线的距离最大．因为A(1,1)、B(0，－1)，所以kAB＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
8．如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．
解：与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过A(－1,1)，
∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)•1－2－λ＝0.
解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
9．求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．
解：由x－2y＋3＝0，2x＋3y－8＝0，解得x＝1，y＝2，
∴l1，l2的交点为(1,2)．
设所求直线方程为y－2＝k(x－1)．
即kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到直线的距离为2，
∴2＝|－2－k|1＋k2，解得：k＝0或k＝43.
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
B组 能力突破
1．(2013•天津)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝
( )
A．－12 B．1
C．2 D.12
解析：由题意可知，点P(2,2)在圆上，设圆心为M(1,0)，则kMP＝2，由圆的切线性质可得，过点P的切线的斜率为k＝－12，又因为切线与直线ax－y＋1＝0垂直，所以－12a＝－1，即a＝2.故选C.
答案：C
2．(2013•辽宁)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有
( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋1a
C．(b－a3)b－a3－1a＝0
D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0
解析：若△OAB为直角三角形，则∠A＝90°或∠B＝90°.
当∠A＝90°时，有b＝a3；
当∠B＝90°时，有b－a30－a•a3－0a－0＝－1，得b＝a3＋1a.
故(b－a3)b－a3－1a＝0，选C.
答案：C
3．已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．若点M，N到直线l的距离相等，则实数k的值是________；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是________．
解析：∵点M、N到直线l的距离相等，
∴直线l平行于MN或过MN的中点，∴k＝1或k＝13；
设l上任意一点P(x0，kx0－2k＋2)．
若∠MPN恒为锐角，则PM→•PN→＞0，
即(x0，kx0－2k)•(x0＋2，kx0－2k＋2)＞0，
∴x20＋2x0＋(kx0－2k)2＋2kx0－4k＞0，
∴(1＋k2)x20＋(2k－4k2＋2)x0＋4k2－4k＞0对x0∈R恒成立，
∴Δ＝(2k－4k2＋2)2－4(k2＋1)(4k2－4k)＜0，
即－7k2＋6k＋1＜0，∴k＞1或k＜－17，
即k∈－∞，－17∪(1，＋∞)．
答案：k＝1或k＝13 －∞，－17∪(1，＋∞)
4．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)•1＝0，
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2，∴a＋b(a－1)＝0，∴b＝a1－a，
故l1和l2的方程可分别表示为：
(a－1)x＋y＋4a－1a＝0，(a－1)x＋y＋a1－a＝0，
又原点到l1与l2的距离相等．
∴4a－1a＝a1－a，∴a＝2或a＝23，
∴a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.