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高二数学（理科）试题(一)
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 是纯虚数，则实数a的值为
A．1 B．2 C．1或2 D．-1
2. 函数 在点（0，1）处的切线方程为
A. B. C. D.
3. 若 ，则 的值分别是
A． B． C． D．
4. 展开式中含 项的系数
A．32 B．4 C．－8 D．－32
5. 观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，……，猜想第 （ ）个等式应为
A． B．
C． D．
6. 四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是
A．64 B．81 C．24 D．12
7. 曲线 和曲线 围成一个叶形图，
其面积是
A.1 B. C. D.
8. 是虚数单位，则复数 的虚部等于
A．1 B． C． D．
9. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，应该
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角至多有两个大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角都大于60°
10. 若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆 ,有 , 类似地，对于双曲线 ,正确的结论是 等于
A. B. C. D.
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
11. 计算： ＝__________．
12. 已知（x2 + 1）（2x－1）9 = a0 + a1x + … + a11x11，则a1 + a2 + … + a11 的值为 .
13. 6名队员站成一排，如果甲不能在排头，乙不能在排尾，则共有________多少种排法（用数字作答） ．
14. 观察下列式子： ……，则可以猜想：
当 时，有 ．
15. 已知函数 满足， ， 是 的导函数， ， ，则不等式 的解集为_______．
三. 解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
16. (本小题满分12分)
已知函数 满足 ，且 ，若 ，求
17 (本小题满分12分)
在二项式（ ＋ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．
18 (本小题满分12分)
已知 、 、 是正实数， ，求证 ．
19(本小题满分12分)
某企业生产一品牌电视投入成本是3600元/台．当电视售价为4800元/台时，月销售 万台；根据市场分析的结果表明，如果电视销售价提高的百分率为 ，那么月销售量减少的百分率为 ．记销售价提高的百分率为 时，电视企业的月利润是 （元）．
（Ⅰ）写出月利润 （元）与 的函数关系式；
（Ⅱ）试确定电视销售价，使得电视企业的月利润最大．
20 (本小题满分12分)
已知函数 .
（Ⅰ）当 =0时， 在（1，+∞）上恒成立，求实数 的取值范围．
（Ⅱ）当 =2时，若函数 在区间[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围．
21 (本小题满分14分)
已知函数f（x）=－ x3+bx2+cx+bc.
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处有极值－ ，试确定b、c的值；
（Ⅱ）若 ， 存在单调递增区间，求 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设 是 上的减函数，求实数m的最小值.
高二数学（理科）答案及评分标准
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C B B C A
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
11 12 3 13 504 14
15
三. 解答题：本大题共6小题，共74分.
16解：∵ ， ， （2分）
猜想 （6分）下面用数学归纳法证明
若 ，显然成立 （7分）， 若 正确，即 ，（8分）那么 时
也成立。 （11分）
故对 ，有 （12分）
17．解：前三项系数为 ， ， ， （2分）
由已知 ＝ ＋ ， 即n2-9n＋8=0，解得：n =8或n =1（舍去）．（6分）
展开式的通项为
Tr+1= （2• = • • ，r =0，1，…，8， （8分）
∵8- ∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r =0，r =4，r =8， （10分）
∴展开式中x的有理项为T1= ，T5= ，T9= x-2 （12分）
18证明：∵ 、 、 是正实数，∴欲证 ，只须证
即 （2分） ∵
而 （5分）
=
= （8分）
∵ ，同理： ， ． （11分）
∴ ．成立
故有 （ l2分）
19解：
（Ⅰ）依题意，销售价提高后为4800（1+ ）元/台，月销售量为 台（1分）
则 （3分）
即 （6分）
（Ⅱ）
令 ，得 ，解得 舍去）． （8分）
当 当 （10分）
当 时， 取得最大值．
此时销售价为 元
答：电视的销售价为7200元时，电视企业的月利润最大． （12分）
20．解：（1）∵ ，由 ，得 恒成立， （1分）
令 ，则 （2分）
当 ∈（1， ）时， ， ∈（ ，+∞）时， >0
故 在（1， ）递减，在（ ，+∞）递增，（4分）
故当 = 时， 最小值为 ∴ （6分）
（2）由已知可知 ， ∵函数 在[1，3]恰有两个不同零点，相当于函数 与直线 有两个不同的交点 （7分）
∴当 ∈（1，2）时， ， 递减
∴当 ∈（2，3）时， ， 递增
∴ （1）=1， （3）= ， （2）= （10分）
图象如图所示
∵ 与直线 有两个不同的交点
∴ （12分）
22．解：（1）解 得 或 ． （2分）
若 , ,
在 上单调递减,在 处无极值；
若 , , ,
直接讨论知, 在 处有极大值,所以 为所求． （4分）
（Ⅱ）若 ，则 ，
当 时，即 ，
在R上是单调减函数，不存在单调区间 （6分）
当 ，即 时， 在 为正
在此区间上为单调增函数，
∴ 存在单调递增区间， 的取值范围是 （8分）
（Ⅲ）∵ ，∴
由题意知 ， （10分）*
令 ，则 ，则有 恒成立（13分）
即 ，故实数m的最小值为4. （14分）
另解；接*式 ， ，
令 ，则 ＝
当 ， 取最大值，且最大值为4，得