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第2课时 整式与因式分解
1．了解单项式、多项式、整式、代数式的有关概念；能在现实情境中进一步体会用字母表示数的意义；能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；会根据已知条件求出代数式的值．
2．了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行整式的加、减、乘、除运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）．
3．了解乘法公式的几何背景，会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），并能用公式进行简单的计算．
4．了解因式分解的意义；理解因式分解与整式乘法的区别和联系；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解．
【知识梳理】
1．代数式的概念：
(1)用_______把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也是代数式．
(2)单项式：由数与字母的_______叫单项式．其中_______叫做单项式的系数，系数不能用带分数表示．一个单项式中，所有字母的_______叫做这个单项式的次数．单独的一个数或字母也是单项式．
(3)多项式：几个单项式的_______叫做多项式．其中每个_______叫做这个多项式的项，不含字母的项叫做_______，多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的_______．
(4)单项式和多项式统称为_______．
(5)用数值代替代数式中的字母，计算出结果，叫做代数式的_______．
(6)同类项：所含字母相同，并且相同字母的_______也相同的项叫做同类项．
2．整式的运算：
(1)整式加减的实质就是_______．
(2)整式的乘法包括：单项式乘以单项式，________，_______．
(3)整式的除法：单项式除以单项式，把_______和_______分别相除，作为商的因式．对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为_______．多项式除以单项式时，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把_______．
(4)幂的运算法则(m，n是整数，a≠0)：
①am•an＝_______；②(am)n＝_______；
③(ab)n＝________；④am÷an＝_______．
3．乘法公式：
(1)平方差公式：(a＋b)（a－b）＝_______．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝_______．
4．因式分解：
(1)定义：把一个多项式化成几个整式_______的形式叫做把这个多项式因式分解．
(2)方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝_______．
②公式法：a2－b2＝_______；a2±2ab＋b2＝_______．
【考点例析】
考点一 列代数式
例1某企业今年3月份的产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是 ( )
A．(a－10%)（a＋15%）万元
B．a(1－10%)(1＋15%)万元
C．(a－10%＋15%)万元
D．a(1－10%＋15%)万元
提示 已知原有量为a，增加（减少）为x%，则现有量为a(1＋x%)[或a（1－x%）]．
考点二 求代数式的值
例2 已知当x＝1时，2ax2＋bx的值为3，则当x＝2时，ax2＋bx的值为________．
提示 本题用到整体思想，将（2a＋b）看成一个整体，代入4a＋2b中，便顺利得到其值．
考点三 同类项
例3如果单项式－ xay2与 x3yb是同类项，那么a、b的值分别为 ( )
A．2、2 B．－3、2 C．2、3 D．3、2
提示 根据同类项的定义即可求解．
考点四 整数指数幂与幂的运算
例4计算2－2的结果为 ( )
A． B． C．－ D．4
提示 根据负整数指数幂法则解题，
例5下列计算正确的是 ( )
A．2a2＋a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3
C．a6•a2＝a12 D．(－a6)2＝a12
提示 根据幂的有关运算法则进行运算，注意“对号入座”．
考点五 整式的运算
例6 化简：
(1) 3（2x2－y2）－2(3y2－2x2)；
(2) （a－b）2＋6(2a＋b)．
提示 (1)先去括号再合并同类项，要注意括号前面的因数要与括号内各项相乘，切忌“漏乘”现象；(2)先根据单项式乘以多项式法则以及完全平方公式进行计算，再合并同类项．
例7 先化简，再求值：
2b2＋(a＋b)（a－b）－(a－b)2，其中a＝－3，b＝ ．
提示 本题先运用平方差公式、完全平方公式化简式子，然后把a、b的值代入化简后的结果中求值．
考点六 因式分解
例8 (1)分解因式：x3－9x＝________；
(2)分解因式：nm2＋6nm＋9m＝________．
提示 (1)先提取公因式x，提取后剩余x2－9，满足平方差公式；(2)先提取公因式m，提取后剩余n2＋6n＋9，满足完全平方公式．
考点七 图形中的整式乘除运算
例9 如图，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积为 ( )
A．2 cm2 B．2a cm2
C．4a cm2 D．(a2－1)cm2
提示 由图可知，所求矩形的面积为边长为(a＋1) cm的正方形剪去边长为(a－1)cm的正方形后剩余部分的面积，利用正方形的面积之差便可求得．
【反馈练习】
1．下列运算，正确的是 ( )
A．3x2－2x2＝x2 B．(－2a)2＝－2a2
C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．－2(a－1)＝－2a－1
2．化简5(2x－3)＋4(3－2x)的结果为( )
A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3
3．下列式子变形是因式分解的是 ( )
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6
B．x2－5x＋6＝（x－2）（x－3）
C．（x－2）（x－3）＝x2－5x＋6
D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
4．如图①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ( )
A．2mn B．(m＋n)2
C．(m－n)2 D．m2－n2
5．某校艺术班同学每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的多10人，两种都会的有7人．设会弹古筝的有m人，则该班同学共有_______人（用含有m的代数式表示）．
6．若代数式－4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为_______．
7．已知2a－3b2＝5，则10－2a＋3b2的值是________．
8．因式分解：
(1) 2x2－10x＝________；
(2) 2x2－8＝________；
(3) a－6ab＋9ab2＝________．
9．化简：
(1) (x＋1)2－x(x＋2)；
(2) 3(x2＋2)－3(x＋1) (x－1)．
10．先化简，再求值：
(2x＋3)（2x－3）－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－ ．
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