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2014-2015学年浙江省杭州实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：
1．（2014•枣庄）2014年世界杯即将在巴西举行，根据预算巴西将总共花费14000000000美元，用于修建和翻新12个体育场，升级联邦、各州和各市的基础设施，以及为32支队伍和预计约60万名观众提供安保．将14000000000用科学记数法表示为（ ）
A． 140×108 B． 14.0×109 C． 1.4×1010 D． 1.4×1011
2．（2011•黔南州） 的平方根是（ ）
A． 3 B． ±3 C． D． ±
3．（2014•潍坊）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． 2﹣2 C． 5. D． sin45°
4．（2014•下城区一模）分解因式a4﹣2a2+1的结果是（ ）
A． （a2+1）2 B． （a2﹣1）2 C． a2（a2﹣2） D． （a+1）2（a﹣1）2
5．（2014•宁波）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2014•台州）将分式方程1﹣ = 去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A． 1﹣2x=3 B． x﹣1﹣2x=3 C． 1+2x=3 D． x﹣1+2x=3
7．（2013•衢州）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（ ）
A． b=2，c=﹣6 B． b=2，c=0 C． b=﹣6，c=8 D． b=﹣6，c=2
8．（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）
A． 1：3 B． 2：3 C． 1：4 D． 2：5
9．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2013•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
11．（2014•十堰）计算： +（π﹣2）0﹣（ ）﹣1= ．
12．（2013•杭州）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 ．
13．（2013•广东）若实数a、b满足|a+2| ，则 = ．
14．（2014•枣庄）已知x、y是二元一次方程组 的解，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
15．（2014•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将 转化为分数时，可设 =x，则x=0.3+ x，解得x= ，即 = ．仿此方法，将 化成分数是 ．
16．（2014秋•平顶山期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述四个判断中正确的是 （填正确结论的序号）．
三、解答题：
17．（2014秋•杭州校级月考）先化简，再求值：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]，其中x=﹣ ，y=﹣ ．
18．（2014•杭州）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
19．（2014春•邗江区校级期中）若关于x的分式方程 = ﹣2的解是非负数，求a的取值范围．
20．（2014•海珠区一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；
（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；
（3）当△PBC的面积为 时，求点E的坐标．
2014-2015学年浙江省杭州实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．（2014•枣庄）2014年世界杯即将在巴西举行，根据预算巴西将总共花费14000000000美元，用于修建和翻新12个体育场，升级联邦、各州和各市的基础设施，以及为32支队伍和预计约60万名观众提供安保．将14000000000用科学记数法表示为（ ）
A． 140×108 B． 14.0×109 C． 1.4×1010 D． 1.4×1011
考点： 科学记数法—表示较大的数．
专题： 常规题型．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：14 000 000 000=1.4×1010，
故选：C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2011•黔南州） 的平方根是（ ）
A． 3 B． ±3 C． D． ±
考点： 算术平方根；平方根．
分析： 首先根据平方根概念求出 =3，然后求3的平方根即可．
解答： 解：∵ =3，
∴ 的平方根是± ．
故选：D．
点评： 本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．
3．（2014•潍坊）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． 2﹣2 C． 5. D． sin45°
考点： 无理数．
专题： 常规题型．
分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解答： 解：A、是有理数，故A选项错误；
B、是有理数，故B选项错误；
C、是有理数，故C选项错误；
D、是无限不循环小数，是无理数，故D选项正确；
故选：D．
点评： 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
4．（2014•下城区一模）分解因式a4﹣2a2+1的结果是（ ）
A． （a2+1）2 B． （a2﹣1）2 C． a2（a2﹣2） D． （a+1）2（a﹣1）2
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 首先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解即可．
解答： 解：a4﹣2a2+1
=（a2﹣1）2
=[（a+1）（a﹣1）]2
=（a+1）2（a﹣1）2．
故选：D．
点评： 此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
5．（2014•宁波）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．
专题： 网格型．
分析： 找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．
解答： 解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．
P= ，
故选：D．
点评： 本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
6．（2014•台州）将分式方程1﹣ = 去分母，得到正确的整式方程是（ ）
A． 1﹣2x=3 B． x﹣1﹣2x=3 C． 1+2x=3 D． x﹣1+2x=3
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．
解答： 解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，
故选：B．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．（2013•衢州）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（ ）
A． b=2，c=﹣6 B． b=2，c=0 C． b=﹣6，c=8 D． b=﹣6，c=2
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．
解答： 解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4），
∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣1，
即y=x2+2x，
∴b=2，c=0．
故选：B．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
8．（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）
A． 1：3 B． 2：3 C． 1：4 D． 2：5
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析： 先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．
解答： 解：∵DE为△ABC的中位线，
∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE为△ABC的中位线，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．
故选：A．
点评： 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．
9．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．
专题： 压轴题．
分析： 过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据等腰直角三角形斜边等于直角边的 倍求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
解答： 解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE=1，
在Rt△ACD中，AC= = = ，
在等腰直角△ABC中，AB= AC= × = ，
∴sinα= = ．
故选：D．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
10．（2013•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 探究型．
分析： 先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= = =5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM= ，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（ ）2，
解得：AM= ，
∴AD=2AM= ．
故选C．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题：
11．（2014•十堰）计算： +（π﹣2）0﹣（ ）﹣1= 1 ．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：原式=2+1﹣ =3﹣2=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、负指数幂、二次根式化简等考点的运算．
12．（2013•杭州）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 ．
考点： 实数大小比较．
专题： 计算题．
分析： 先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．
解答： 解：7的平方根为﹣ ， ；7的立方根为 ，
所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣ ＜ ＜ ．
故答案为：﹣ ＜ ＜ ．
点评： 本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
13．（2013•广东）若实数a、b满足|a+2| ，则 = 1 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
分析： 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
解答： 解：根据题意得： ，
解得： ，
则原式= =1．
故答案是：1．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（2014•枣庄）已知x、y是二元一次方程组 的解，则代数式x2﹣4y2的值为 ．
考点： 二元一次方程组的解；因式分解-运用公式法．
专题： 计算题．
分析： 根据解二元一次方程组的方法，可得二元一次方程组的解，根据代数式求值的方法，可得答案．
解答： 解： ，
①×2﹣②得
﹣8y=1，
y=﹣ ，
把y=﹣ 代入②得
2x﹣ =5，
x= ，
x2﹣4y2=（ ） = ，
故答案为： ．
点评： 本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求代数式的值．
15．（2014•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将 转化为分数时，可设 =x，则x=0.3+ x，解得x= ，即 = ．仿此方法，将 化成分数是 ．
考点： 一元一次方程的应用．
专题： 方程思想．
分析： 设x= ，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，再由②﹣①得方程100x﹣x=45，解方程即可．
解答： 解：设x= ，则x=0.4545…①，
根据等式性质得：100x=45.4545…②，
由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，
即：100x﹣x=45，99x=45
解方程得：x= = ．
故答案为： ．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．
16．（2014秋•平顶山期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述四个判断中正确的是 ①④ （填正确结论的序号）．
考点： 二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．
分析： 根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；
根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；
如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；
先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．
解答： 解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；
③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，
∵4＜5，
∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故④正确．
故答案为：①④．
点评： 此题考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．
三、解答题：
17．（2014秋•杭州校级月考）先化简，再求值：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]，其中x=﹣ ，y=﹣ ．
考点： 整式的加减—化简求值．
分析： 利用去括号，合并同类项化简，再把x=﹣ ，y=﹣ 代入求解．
解答： 解：5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣（x2+2xy﹣2y2）]
=5xy﹣[x2+4xy﹣y2﹣x2﹣2xy+2y2]，
=5xy﹣[2xy+y2]，
=5xy﹣2xy﹣y2，
=3xy﹣y2，
当x=﹣ ，y=﹣ 时，原式=3×（﹣ ）（﹣ ）﹣（﹣ ）2= ﹣ = ．
点评： 本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
18．（2014•杭州）设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
考点： 因式分解的应用．
专题： 计算题；因式分解．
分析： 先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．
解答： 解：能；
（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）
=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）
=（4x2﹣y2）2，
当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，
令（4﹣k2）2=1，解得k=± 或± ，
即当k=± 或± 时，原代数式可化简为x4．
点评： 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
19．（2014春•邗江区校级期中）若关于x的分式方程 = ﹣2的解是非负数，求a的取值范围．
考点： 分式方程的解．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据x为非负数求出a的范围即可．
解答： 解：分式方程去分母得：2x=3a﹣4x+4，
解得：x= ，
根据题意得： ≥0，且 ≠1，
解得：a≥﹣ ，且a≠ ．
点评： 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
20．（2014•海珠区一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；
（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；
（3）当△PBC的面积为 时，求点E的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），求出抛物线解析式即可；由抛物线的解析式可求出B的坐标，进而可求出线BC的函数表达式；
（2）当∠CDE=90°时，则CE为斜边，则DG2=CG•GE，即1=（OC﹣OG）•（2﹣a），求出a的值，进而得出P点坐标；
（3）当△PBC的面积为 时，过P作PK∥x 轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3，由已知条件可得：S△PBC=S△PKC+S△PKB= ，进而可求出P的坐标，又因为点P在CE垂直平分线上，所以E的坐标可求出．
解答： 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣ ﹣=1，
∴b=﹣2
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c=﹣3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．
∴x1=﹣1，x2=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则 ，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；
（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴∠OCB=45°，
∵点D在对称轴x=1与直线y=x﹣3交点上，
∴D坐标为（1，﹣2 ）
Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，﹣1），
∵点P在CE垂直平分线上，
∴点P纵坐标为﹣2，
∵点P在y=x2﹣2x﹣3上，
∴x2﹣2x﹣3=﹣2，
解得：x=1± ，
∵P在第三象限，
∴P的坐标为（1﹣ ，﹣2）；
（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2﹣2m﹣3
∵直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴K的坐标为（n+3，n），
∴PK=n+3﹣m=m2﹣3m，
∵S△PBC=S△PKC+S△PKB= ，
∴ ×3KP=
∴m2﹣3m= ，
解得：m=﹣ 或 ，
∵P在第三象限，
∴P的坐标为（﹣ ，﹣ ）
∵点P在CE垂直平分线上，
∴E的坐标为（0，﹣ ）
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法以及用待定系数法求一次函数的解析式和等腰直角三角形的性质，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．