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2014-2015学年山东省聊城市茌平县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句中，属于命题的是（ ）
A ． 作线段的垂直平分线
B． 等角的补角相等吗
C． 三角形是轴对称图形
D．用三条线段去拼成一个三角形
3．△ABC中，BF、CF是角平分线，∠A=70°，则∠BFC=（ ）
A． 125° B． 110° C． 100° D． 150°
4．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的（ ）
A． 平均数 B． 中位数 C． 众数 D． 方差
5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． ∠B=∠C B． AD⊥BC C． AD平分∠BAC D． AB=2BD
6．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，则对于样本（x1+1），（x2+1），（x3+1），…，（xn+1），下列结论中正确的是（ ）
A． 平均数为10，方差是2 B． 平均数是11，方差为3
C． 平均数为11，方差为2 D． 平均数为12，方差为4
7．如图A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A． AC、BC的两条高线的交点处
B． ∠A、∠B两内角平分线的交点处
C． AC、BC两边中线的交点处
D． AC、BC两条边垂直平分线的交点处
8．如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（ ）
A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°
9．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 12
10．如图所示，已知∠C=∠D=90°，AB=AE，增加下列一个条件（1）AC=AD，（2）BC=ED，（3）∠B=∠E，（4）∠1=∠2，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
11．如果关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 3
12．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A． 相等 B． 互余 C． 互补或相等 D．不相等
二、填空题（本题共5个小题， 每小题3分，共15分，只要求写出结果）
13．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
14．若分式 的值为0，则x的值等于 ．
15．如图所示，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为 度．
16． = = ，且a+b+c≠0，则 = ．
17．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 （度）．
三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．先化简再求值：（ + ）÷ ，其中a=2．
19．解方程：
（1） +3=
（2） ﹣ =1．
20．如图，B，C，F，E在同一直线上，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，
求证：AB=DE．
21．张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
王军 68 80 78 79 81 77 78 84 83 92
张成 96 80 75 83 85 77 79 80 80 75
利用表中提供的数据，解答下列问题：
（1）填写完成下表
平均成绩 中位数 众数
王军 80 79
张成 80 80
（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差S王2=33.2，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差S张2．
22．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
23．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
24．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
25．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
2014-2015学年山东省聊城市茌平县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解答： 解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
点评： 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列语句中，属于命题的是（ ）
A． 作线段的垂直平分线
B． 等角的补角相等吗
C． 三角形是轴对称图形
D． 用三条线段去拼成一个三角形
考点： 命题与定理．
分析： 分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
解答： 解：C是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，A、B、D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．
故选：C．
点评： 本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
3．△ABC中，BF、CF是角平分线，∠A=70°，则∠BFC=（ ）
A． 125° B． 110° C． 100° D． 150°
考点： 三角形内角和定理．
分析： 根据三角形的内角和定理和∠A的度数求得另外两个内角的和，利用角平分线的性质得到这两个角和的一半，用三角形内角和减去这两个角的一半即可．
解答： 解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，
∵BF、CF是△ABC的角平分线，
∴∠FBC+∠FCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BFC=180°﹣55°=125°．
故选：A．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理与角平分线的性质，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
4．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的（ ）
A． 平均数 B． 中位数 C． 众数 D． 方差
考点： 统计量的选择．
专题： 应用题．
分析： 因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数．
解答： 解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以．
故选：B．
点评： 中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．学会运用中位数解决问题．
5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． ∠B=∠C B． AD⊥BC C． AD平分∠BAC D． AB=2BD
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 此题需对每一个选项进行验证从而求解．
解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质
6．若样本x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，则对于样本（x1+1），（x2+1），（x3+1），…，（xn+1），下列结论中正确的是（ ）
A． 平均数为10，方差是2 B． 平均数是11，方差为3
C． 平均数为11，方差为2 D． 平均数为12，方差为4
考点： 方差；算术平均数．
分析： 利用平均数与方差的性质分别分析得出即可．
解答： 解：∵样本x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为2，
∴x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10+1=11，方差不变为2．
故选：C．
点评： 本题考查了方差与平均数的定义，熟练掌握方差的意义是解题关键．
7．如图A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定三个小区之间修建一个超市，使它到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A． AC、BC的两条高线的交点处
B． ∠A、∠B两内角平分线的交点处
C． AC、BC两边中线的交点处
D． AC、BC两条边垂直平分线的交点处
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 连接OA、OB、OC，根据OA=OB得出O在AB的垂直平分线上，根据OC=OA，得出O在AC的垂直平分线上，即可得出选项．
解答：
解：设O点为超市的位置，
连接OA、OB、OC，
∵超市到三个小区的距离相等，
∴OA=OB=OC，
∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在AC的垂直平分线上，
即O是AC、BC两条垂直平分线的交点上，
故选D．
点评： 本题考查了线段的垂直平分线的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，反过来到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
8．如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（ ）
A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°
考点： 三角形的外角性质；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠4，再求出∠2的邻补角∠5，然后利用三角形外角性质即可求出∠3．
解答： 解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°，
又∠5=180°﹣∠2=180°﹣95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°．
故选D．
点评： 本题利用平行线的性质和三角形外角的性质求解．
9．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（ ）
A． 13 B． 14 C． 15 D． 12
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰△ABC的周长为21，底边BC=5得出其腰长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解答： 解：∵等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，
∴AB=AC= =8．
∵AB的垂直平分线DE交AB于点E，
∴AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，
∴△BDC的周长=BC+（AD+CD）=BC+AC=5+5=13．
故选A．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
10．如图所示，已知∠C=∠D=90°，AB=AE，增加下列一个条件（1）AC=AD，（2）BC=ED，（3）∠B=∠E，（4）∠1=∠2，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
考点： 全等三角形的判定．
分析： 分别根据“HL”和“AAS”对所添加的条件进行判断．
解答： 解：∵∠C=∠D=90°，AB=AE，
∴当AC=AD时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；
当BC=ED时，可根据“HL”判断△ABC≌△AED；
当∠B=∠C时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当∠1=∠2时，则∠BAC=∠EAD，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．
故选A．
点评： 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．如果关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 3
考点： 分式方程的增根．
分析： 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
解答： 解：方程两边同乘以x﹣3，得
2=x﹣3﹣m①．
∵原方程有增根，
∴x﹣3=0，
即x=3．
把x=3代入①，得
m=﹣2．
故选B．
点评： 考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个 三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A． 相等 B． 互余 C． 互补或相等 D． 不相等
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．
解答： 解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，
第二种情况，如图，AC=AC′，高CD=C′D′，
∴∠ADC=∠AD′C′，
在Rt△ACD和Rt△AC′D′中，
Rt△ACD≌Rt△AC′D′（HL），
∴∠CAD=∠C′AD′，
此时，∠CAB+∠C′AB=180°，
是互补关系，
所以选“相等或互补”．
故选C．
点评： 本题考查全等三角形的性质，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出结果）
13．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 35 cm．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成 三角形．
解答： 解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．若分式 的值为0，则x的值等于 1 ．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答： 解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由 x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．
点评： 若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
15．如图所示，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为 230 度．
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．
分析： 本题考查的是三角形内角和定理以及四边形内角和定理．
解答： 解：∵∠A=50°⇒∠C+∠B=180°﹣∠A=130°．
又∵四边形ECBD内角和为360°，
∴ ∠1+∠2=360°﹣（∠C+∠B）=230°，
∴∠1+∠2=230°．
故填230．
点评： 本题先利用三角形内角和定理求出∠C，∠B的度数，再利用四边形内角和求出∠1，∠2即可．
16． = = ，且a+b+c≠0，则 = ．
考点： 比例的性质．
分析： 根据比例的性质，可用a表示b，用a表示c，根据分式的性质，可得答案．
解 答： 解：由 = = ，得
b= ，c=2a．
把b= ，c=2a代入 得
= = ，
故答案为： ．
点评： 本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a表示b，a表示c，再利用分式的性质得出答案．
17．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 45 （度）．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
解答： 解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE= 90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答要写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤）
18．先化简再求值：（ + ）÷ ，其中a=2．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式= • = • = ，
当a=2时，原式=2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．解方程：
（1） +3=
（2） ﹣ =1．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：（x﹣2）2﹣12=x2﹣4，
整理得：x2﹣4x+4﹣12=x2﹣4，
移项合并得：﹣4x=4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．如图，B，C，F，E在同一直线上，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，
求证：AB=DE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先利用平行线的性质得出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案．
解答： 证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠ACF=∠DFC，
∴∠ACB=∠DFE，
∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∵ ，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出对应角相等是解题关键．
21．张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
王军 68 80 78 79 81 77 78 84 83 92
张成 96 80 75 83 85 77 79 80 80 75
利用表中提供的数据，解答下列问题：
（1）填写完成下表
平均成绩 中位数 众数
王军 80 79 78
张成 80 80 80
（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差S王2=33.2，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差S张2．
考点： 方差；加权平均数；中位数．
分析： （1）根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；
（2）根据方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，代值计算即可．
解答： 解：（1）78出现了2次，出现的次数最多，则王军成绩的众数为78；
80出现了3次，出现的次数最多，则张成成绩的众数为80；
故答案为：78，80；
（2）张成10次测验成绩的方差是：
S张2= [（96﹣80）2+3×（80﹣80）2+2×（75﹣80）2+（83﹣80）2+（85﹣80）2+（77﹣80）2+（79﹣80）2]=35；
即张成10次测试成绩的方差为35．
点评： 本题考查方差和众数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；众数是一组数据中出现次数最多的数．
22．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先根据等腰三角形的两个底角相等 得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．
解答： 证明：在△ABC中，BA=BC，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠C+∠FEC=90°，
∠A+∠D=90°，
∴∠FEC=∠D，
∵∠FEC=∠BED，
∴∠BED=∠D，
∴BD=BE，
即△DBE是等腰三角形．
点评： 此题主要考查等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．
23．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
考点： 作图—基本作图；平行线的判定．
专题： 作图题．
分析： （1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；
（2）根据角平分线的性质可得∠BDE= ∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A= ∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．
解答： 解：（1）如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE= ∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A= ∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
点评： 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．
24．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
考点： 分式方程的应用．
专题： 行程问题．
分析： 设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．根据题意，知小汽车所用的时间比公共汽车所用的时间少3小时﹣20分= 小时，列方程求解．
解答： 解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．
依题意，得
，
解，得
x=20．
经检验x=20是原方程的根，且符合题意．
∴3x=60．
答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时．
点评： 找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
此题中关键是弄清两车的时间关系．
25．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 60° ；②线段AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，A E，BE之间的数量关系，并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
分析： （1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．
解答： 解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△B CE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．