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2015年重庆一中高2016级高三上期开学摸底考试
数学试题卷（理科）2015.9
第I卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设全集 ，集合 ， ，则 =（）
A． B． C． D．
2．命题“ ，则 或 ”的逆否命题为（）
A．若 ，则 且 B．若 ，则 且
C．若 且 ，则 D．若 或 ，则
3．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数 的零点在区间 上，则 的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知 ， 为方程 的解，则 的值为（）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣1
6．已知存在实数 ，使得关于 的不等式 有解，则 的最大值为（）
A．2 B． C．4 D．8
7．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（原创）已知关于 的方程 有两个不同实数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题中：
①若 ，则幂函数 在 上单调递增；
②函数 与函数 的图象关于直线 对称；
③若函数 的图象关于 对称，则 为偶函数；
④若 是定义域为R的奇函数，对于任意的 都有 ，则函数
的图象关于直线 对称，其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（原创）已知点P为曲线 上一点，曲线C在点P处的切线 交曲线C于点Q（异于点P），若直线 的斜率为 ，曲线C在点Q处的切线 的斜率为 ，则 的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．2
11．（原创）已知 是定义在R上且以4为周期的奇函数，当 时， ，则函数 在区间 上的所有零点的和为（）
A．16 B．32 C．48 D．52
12．（原创）已知函数 ， ， ， ，则（）
A． B． C． D．
第II卷
本卷包括必考题和选考题，第12题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答
二、填空题：共4小题，每小题5分
13． =_________
14．设函数 ，则不等式 的解集为_________
15．化简： =_________
16．（原创）若函数 与函数 的图象有且仅有一个交点，则实常数 的值为_________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）已知函数
（1）已知 ，且 ， ，求 的值；
（2）求函数 的最大值
18．（本小题满分12分）设命题P：函数 的定义域为R；命题q：函数 在区间 上有唯一零点，
（1）若p为真命题，求实数 的取值范围；
（2）如果命题“ ”为真命题，命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围
19．（本小题满分12分）现今中国社会人口老龄化日趋严重，机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”
（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
20．（原创）（本小题12分）已知函数 （ 为常数）
（1）若函数在 内单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若存在 （其中 为自然对数的底），使得 成立，求实数 的取值范围
21．（本小题满分12分）已知 为常数，函数 ，
（1）当 =0时，求函数 的最小值；
（2）若 有两个极值点
①求实数 的取值范围；
②（原创）求证： 且 （其中 为自然对数的底）
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PE且⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D
求证：（1）CE=DE； （2）
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的极坐标方程为
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）直线 （t为参数）与曲线C交于A，B两点，于y轴交于点E，求 的值。
24．（原创）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）当 =1时，解不等式 ；
（2）当 =2时，若对一切 ，恒有 成立，求实数 的取值范围。