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椭圆同步测试
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆 的焦距是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点 ，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 （ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5. 过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 、 与椭圆的另一焦点 构成 ，那么 的周长是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
6．若椭圆两准线间的距 离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7. 已知 ＜4，则曲线 和 有（ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
8．已知 是椭圆 上的一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则点 到左焦点的距离是 （ ）
A． B． C． D．
9．若点 在椭圆 上， 、 分别是椭圆的两焦点，且 ，则 的面积是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
10．椭圆 内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D ．
11．椭圆 上的点到直线 的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
12．在椭圆 内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ ）
A． B． C．3 D．4
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）
13．椭圆 的离心率为 ，则 。
14．设 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，则 的最大值为 ；最小值为 。
15．直线y=x－ 被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 。
16．已知圆 为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知三角形 的两顶点为 ，它的周长为 ,求顶点 轨迹方程．
18、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短 轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19、中心在原点，一焦点为F1（0，5 ）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是 ，求此椭圆的方程。
20、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e= ，已知点P（0， ）到椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆方程。
21、椭圆 上不同三点 与焦点
F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证 ；
（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ．
22、椭圆 ＞ ＞ 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标原点.
（1）求 的 值；
（2）若椭圆的离心率 满足 ≤ ≤ ，求椭圆长轴的取值范围.
椭圆 参考答案
一、 选择题：
ACDD ADBD BBDC
二、 填空题
13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、
三、 解答题
17、
18、解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当 为短轴端点时， ， ，
椭 圆的标准方程为： ；
19、设椭圆： （a＞b＞0），则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0= ，∴y0= －2=－
由 …②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭 圆为： =1
20、 ∵e2==
∴椭圆方程可设为：
设A（x，y）是椭圆上任一点，则：│PA│2 =x2+（y－ ）2=－3y2－3y+4b2+
f（y）（ －b≤y≤b）
讨论：1°、－b＞－ 0＜b＜ 时，│PA│ = f（－b）=（b＋ ）2
=
但b＞ ，矛盾。不合条件。
2°、－b≤－ b≥ 时，│PA│ = f（－ ）=4b2+3=7 b2=1
∴所求椭圆为：
21、证明：（1）由椭圆方程知 ， ， ．
由圆锥曲线的统一定义知： ，
∴ ．
同理 ．
∵ ，且 ，
∴ ，
即 ．
（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为
又∵点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得
又∵点 ， 都在椭圆上，
∴
∴ ．
将此式代入①，并利用 的结论得
22、[解析]：设 ， 由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴 2a ∈ [ ].