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天津市2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)
一、选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．i为虚数单位，则 ＝ ( )．
A．－i B．－1 C．i D．1
2. 设 为向量，则“ ”是“ ”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已设变量x，y满足约束条件x＋2y－5≤0，x－y－2≤0，x≥0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( ) A．11 B．10 C．9 D.172
4. 如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B. C. D.
5．某几何体的三视图如图2所示，则它的体积是( )．
A．8－2π3 B．8－π3 C．8－2π D.2π3
6.设双曲线x2a2－y2b2＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，若原点O到l的距离为34c，则双曲线的离心率为( )
A.233或2 B．2 C.2或233 D.233
7．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．
A．33 B．23 C．43 D.3
8.已知函数y=f(x)是定义在数集R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，xf/(x)<f(-x)成立，若 , , ,则a,b,c的大小关系是（ ）
A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b
二、填空题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）
9. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 :3 :5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件,那么此样本的容量 ______.
10.若 的展开式中 的系数为7，则实数 _________.
11．若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2013＝________.
12.直线 （ ）被曲线 所截的弦长为
13.如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝________.
14.已知点(a，b)不在直线x＋y－2＝0的下方，则2a＋2b的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）
15.(13分)已知函数
(1)当 时，求函数 的最小值和最大值
(2)设△A,B,C的对边分别为a,b,c,且c= ， ,若sinB=2sinA，求a,b的值.
16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个.
(1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．
17．（13分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
18.(13分) 在直角坐标系xOy中,点P到两点(0, )、(0, )的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点.
(1)写出C的方程;
(2)若点A在第一象限,证明当k>0时,恒有 .
19.（14分）已知正项数列 的前 项和为 ， 是 与 的等比中项.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（3）在（Ⅱ）的条件下，若 ，求数列 的前 项和 .
20.（14分） 已知函数 ， ，其中 ．
(1)若 是函数 的极值点，求实数 的值；
(2)若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 ≥ 成立，求实数 的取值范围．
2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）
一、选择题
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A
二、填空题：
9.80 10. 11.3 12. 14.4
三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）
15.（13分）
答案：（1）
最小值 -------6分
（2） ----------13分
16．（13分）．
(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
则P(A)＝1－ ＝79．-----3分
(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分
由于P(ξ＝0)＝C35C310＝112，-----6分 P(ξ＝1)＝C15C25C310＝512，------8分
P(ξ＝2)＝C25C15C310＝512，-------10分 P(ξ＝3)＝112，------12分
ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 112
512
512
112
ξ的数学期望E(ξ)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.---------13分
17．（13分）[解析] 以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，a2，0)、F(a2，a2，a2)、P(0,0，a)．
(1)EF→•DC→＝(－a2，0，a2)•(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.-------4分
(2)设G(x,0，z)，则G∈平面PAD.
FG→＝(x－a2，－a2，z－a2)，
FG→•CB→＝(x－a2，－a2，z－a2)•(a,0,0)＝a(x－a2)＝0，∴x＝a2；
FG→•CP→＝(x－a2，－a2，z－a2)•(0，－a，a)＝a22＋a(z－a2)＝0，∴z＝0.
∴G点坐标为(a2，0,0)，即G点为AD的中点．---------8分
(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．
由n•DF→＝0n•DE→＝0得，(x，y，z)•(a2，a2，a2)＝0，(x，y，z)•(a，a2，0)＝0.即a2(x＋y＋z)＝0，ax＋a2y＝0.
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．
cos<BD→，n>＝BD→•n|BD→||n|＝a2a•6＝36，
∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为36------13分
18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0, ),(0, )为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴 ,------2分
故曲线C的方程为 .-----5分
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 消去y并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0,-------7分
故 .-----------9分
=x12+y12-(x22+y22)
=(x12-x22)+4(1-x12-1+x22)
=-3(x1-x2)(x1+x2) .---------11分
因为A在第一象限,故x1>0.
由 知x2<0,从而x1-x2>0.
又k>0,故 ,
即在题设条件下,恒有 .--------13分
19.（14分）解：（Ⅰ） 即 ------1分
当 时， ，∴ ------2分
当 时，
∴ ------3分
即 ------4分
∵ ∴
∴数列 是等差数列------5分
（Ⅱ）由 得 ------7分
∴数列 是以2为公比的等比数列
∴
∴ ------9分
（Ⅲ） ------10分
∴ ①
两边同乘以 得 ②
①-②得
------14分
20.（14分）（1）解法1：∵ ，其定义域为 ，----1分
∴ ．3分
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，∴ ． -----5分
解法2：∵ ，其定义域为 ，
∴ ． 令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 （舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极小值
依题意， ，即 ，∵ ，∴ ．
（2）解：对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的 都有 ≥ ．------6分
当 ［1， ］时， ．
∴函数 在 上是增函数．∴ ． ----8分
∵ ，且 ， ．
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，
∴ .由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，
∴ 不合题意．-------10分
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．-----12分
③当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在 上是减函数．
∴ .由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ ．------13分
综上所述， 的取值范围为 ．-------14分
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