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天津一中2014-2015-2高二年级
数学学科期末质量调查试卷（理科）
本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共¬100分，考试用时90分钟。第I卷 至 页，第II卷 至 页。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!
一．选择题：（每小题3分，共30分）
1．i为虚数单位，1－i1＋i2＝( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
2. 曲线 在点（1, ）处的切线与坐标轴围成的三角面积为 ( )
A． B． C． D．
3．定积分01(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
4. 已知随机变量X服从二项分布X～B(6， )，则P(X＝2)等于 ( )
A. B. C. D.
5． (x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于 ( )
A．－1 B.12 C．1 D．2
6. 若函数 在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是
（ ）
A. B.0 C. D.1
7．设一随机试验的结果只有A和 ， ，令随机变量 ，则X的方差为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知函数f（x）的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于 （ ）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
9. 把13个相同的球全部放入编号为1、2、3的三 个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为 （ ）
A．36 B. 45 C. 66 D.78
10.定义域为 的函数 对任意的 都有 ，且其导函数 满足： ，则当 时，下列成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
二．填空题： （每小题4分，共24分）
11．函数 在 处有极值，则 的值为 .
12．函数 的单调递减区间是 .
13.设 则 .
14.已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是 _________________
15．甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是 和 ，假设两人射击目标是否击中相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标也没有影响．则两人各射击4次，甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为________．
16．我国的刺绣有着悠久的历史，下图(1)，(2)，(3)，(4)为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第 个图形包含 个小正方形，则 的表达式为
天津一中2014-2015-2 高二年级
数学学科期末质量调查试卷答题纸（理科）
二、填空题（每小题4分，共24分）
11． 12．
13． 14．
15． 16．
三、解答题：（共4题，共46分）
17．摇奖器内有 个小球，其中 个小球上标有数字 ， 个小球上标有数字 ，现摇出 个小球，规定所得奖金（元）为这 个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望。
18.某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A,B,C，若A,B,C实验成功的概率分别为 ．
(1)对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；
(2该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖），且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列和数学期望．
19．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，
数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．（可用数学归纳法证明）
20．已知函数 .
（1）若 ，试确定函数 的单调区间；
（2）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（3）设函数 ， 求证：
天津一中2014-2015-2高二年级
数学学科期末质量调查试卷（理科）
一．选择题：
1．i为虚数单位，1－i1＋i2＝( A )
A．－1 B．1 C．－i D．i
2. 曲线 在点（1, ）处的切线与坐标轴围成的三角面积为 ( A )
A． B． C． D．
3．定积分01(2x＋ex)dx的值为( C )
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
4. 已知随机变量X服从二项分布X～B(6， )，则P(X＝2)等于 (D )
A. B. C. D.
5． (x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于 ( D )
A．－1 B.12 C．1 D．2
6. 若函数 在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是
（ C ）
A. B.0 C. D.1
7．设一随机试验的结果只有A和 ， ，令随机变量 ，则X的方差为（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知函数f（x）的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于（ D ）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
9. 把13个相同的球全部放入编号为1、2、3的三 个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为 （ A ）
A．36 B. 45 C. 66 D.78
10.定义域为 的函数 对任意的 都有 ，且其导函数 满足： ，则当 时，下列成立的是 （ B ）
A． B．
C． D．
二．填空题：
11、函数 在 处有极值，则b的值为 -2 .
12．函数 的单调递减区间是 .
(2015)
14.已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是 __a<-3或a>6_______________
15．甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是 和 ，假设两人射击目标是否击中相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标也没有影响．则两人各射击4次，甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为
________．
16．我国的刺绣有着悠久的历史，下图(1)，(2)，(3)，(4)为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第 个图形包含 个小正方形，则 的表达式为
三．解答题：
17．摇奖器内有 个小球，其中 个小球上标有数字 ， 个小球上标有数字 ，现摇出 个小球，规定所得奖金（元）为这 个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望。
解：设此次摇奖的奖金数额为 元，
当摇出的 个小球均标有数字 时， ；
当摇出的 个小球中有 个标有数字 ，1个标有数字 时， ；
当摇出的 个小球有 个标有数字 ， 个标有数字 时， 。
所以，
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是 元
18.某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A,B,C，若A,B,C实验成功的概率分别为 ．
(I)对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；
(Ⅱ)该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖），且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列和数学期望．
19．(12分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，
数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1bn与Sn＋1的大小，并说明理由．（可用数学归纳法证明）
解 (1)由已知得a2＋a5＝12，a2a5＝27.
因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，
所以a2＝3，a5＝9.
所以d＝a5－a23＝9－33＝2，a1＝1，即an＝2n－1.
因为Tn＝1－12bn，所以b1＝23.
当n≥2时，Tn－1＝1－12bn－1，
所以bn＝Tn－Tn－1＝1－12bn－1－12bn－1，
化简得bn＝13bn－1.
所以{bn}是首项为23，公比为13的等比数列，
即bn＝23•13n－1＝23n.
所以an＝2n－1，bn＝23n.
(2)因为Sn＝1＋2n－12×n＝n2，
所以Sn＋1＝(n＋1)2，1bn＝3n2.
下面比较1bn与Sn＋1的大小：
当n＝1时，1b1＝32，S2＝4，所以1b1<S2，
当n＝2时，1b2＝92，S3＝9，所以1b2<S3，
当n＝3时，1b3＝272，S4＝16，所以1b3<S4，
当n＝4时，1b4＝812，S5＝25，所以1b4>S5，
猜想：n≥4时，1bn>Sn＋1.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k (k∈N*，k≥4)时，
1bk>Sk＋1，即3k2>(k＋1)2，
那么，1bk＋1＝3k＋12＝3•3k2
>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3
＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2
＝S(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，1bn>Sn＋1也成立．
由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，1bn>Sn＋1都成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，1bn<Sn＋1，
当n≥4时，1bn>Sn＋1.
20．已知函数 .
（1）若 ，试确定函数 的单调区间；
（2）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（3）设函数 ，求证： .
解：（1）由 得 ，所以 ．
由 得 ，故 的单调递增区间是 ，……………………2分
由 得 ，故 的单调递减区间是 …………………4分
（2）由 可知： 是偶函数．
于是 对任意 成立等价于 对任意 成立………5分
由 得 ．
①当 时， ． 此时 在 上单调递增． 故 ，符合题意．…………………… ……………………6分
②当 时， ．
当 变化时 的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在 上， ．
依题意得： ，又 ．
综合①，②得，实数 的取值范围是： ．…………………………………8分
（3） ，
………………………………………………………………………………………………9分
，
由此得：
故 ．… ………………………
已知函数 ，其中 ．（参考公式： ）
当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
如果对于任意 ，都有 ，求 的取值范围．
（1）解：当 时，由已知得 ，故 ，………...… 2分
所以 ，又因为 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
即 ；………………………………………………………….. . 5分
（2）解：由 ，得 ，又 ，
故 ． …………………………7分
设函数 ，
则 ． ………….…..……… 8分
因为 ，
所以 ， ，
所以当 时， ，…………………… 10分
故函数 在 上单调递增．
所以当 时， ．. …….… 12分
所以对于任意 ，都有 成立．
所以 ． ………………………………..……… 14分