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2015-2016学年福建省龙岩市上杭县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列四个交通标志中，轴对称图形是( )
A． B． C． D．
2．七边形的外角和为( )
A．1260° B．900° C．360° D．180°
3．如图，∠1=∠2，3=∠4，OE=OF，则图中全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A．72° B．60° C．50° D．58°
5．如图，△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为( )
A．9 B．8 C．6 D．12
6．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( )
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
7．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
8．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=( )
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
10．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则( )
A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．等腰三角形的底角 是80°，则它的顶角是__________．
12．已知：如图，∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，请添加一个条件是__________．
13．在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是__________cm．
14．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为__________．
15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=__________海里．
16．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标__________．
三、解答题（本大题共9小题，共92分）
17．如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC．
18．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数．
19．已知：如图：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标，并在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
21．求出下列图形中的x值．
22．如图，△ABC，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，求CD的长．
23．如图，CD⊥DB于D，AB⊥DB于B，CD=EB，AB=ED．求证：CE⊥AE．
24．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE． 试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD=CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）
（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．
2015-2016学年福建省龙岩市上杭县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列四个交通标志中，轴对称图形是( )
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故 本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．七边形的外角和为( )
A．1260° B．900° C．360° D．180°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和定理即可判断．
【解答】解：七边形的外角和为360°．
故选C．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理内容是关键．
3．如图，∠1=∠2，3=∠4，OE=OF，则图中全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】先找完可能全等的三角形再逐对验证条件，如找到△AOF≌△BOE，再找条件∠1=∠2、∠O=∠O、AE=BF，之后易得△AEM≌△BFM．从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找得出答案即可．
【解答】解：如图，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE，
∴OA=OB，
又∵OE=OF，
∴AE=BF，
在△AEM和△BFM中，
∴△AEM≌△BFM．
共2对．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与．
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )
A．72° B．60° C．50° D．58°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠2=58°；然后由 全等三角形是性质得到∠1=∠2=58°．
【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1=∠2=58°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．
5．如图，△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为( )
A．9 B．8 C．6 D．12
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】根据∠B=60°，AB=AC，即可判定△ABC为等边三角形，由BC=3，即可求出△ABC的周长．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B=60°，AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC=3，∴△ ABC的周长为：3BC=9，
故选A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，属于基础题，关键是根据已知条件判定三角形为等边三角形．
6．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( )
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三 条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】运用到三角形的某边两端距离相等的点在该边的垂直平分线上的特点，可以判断到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
【解答】解：根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
可以判断：三角形中，到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
故选D．
【点评】该题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；应牢固掌握线段垂直平分线的性质．
7．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【考点】全等三角形的应用．
【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．
【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点，
∴AO=A′O，BO=B′O，
在△OAB和△OA′B′中 ，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
故选：A．
【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．
8．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=( )
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
【考点】三角形的面积．
【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD 的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°﹣25°=65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D=∠B=65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．
故选D．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．
10．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则( )
A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题中的条件可证明出△ADF≌△ABF，由全等三角形的性质可的∠ADF=∠ABF，再由条件证明出∠ABF=∠C，由角的传递性可得∠ADF=∠C，根据平行线的判定定理可证出FD∥BC．
【解答】解：在△AFD和△AFB中，
∵AF=AF，∠1=∠2，AD=AB，
∴△ADF≌△ABF，
∴∠ADF=∠ABF．
∵AB⊥BC，BE⊥AC，
即：∠BAC+∠C=∠BAC+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠C，
即：∠ADF=∠ABF=∠C，
∴FD∥BC，
故选D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，涉及到的知识点还有平行线的判定定理，关键在于运用全等三角形的性质证明出角与角之间的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．等腰三角形的底角是80°，则它的顶角是20°．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其顶角的度数．
【解答】解：∵ 等腰三角形的一个底角为80°
∴顶角=180°﹣80°×2=20°．
故答案为：20°．
【点评】考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．
12．已知：如图，∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，请添加一个条件是AC=BD或BC=AD或∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】要使△ACB≌△BDA，已知∠ACB=∠BDA=90°，AB=BA，则可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定；或添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定．
【解答】解：∵∠ACB=∠BDA=90°，AB=BA，
∴可以添加AC=BD或BC=AD利用HL判定；
添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA利用AAS判定．
故填空答案为：AC=BD或BC=AD或∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
13．在活动课上，小红已有两根 长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是8cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出两条小棒长为4cm和8cm打算拼一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当第三根是4cm时，其三边分别为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当第三根是8cm时，其三边分别是8cm，8cm，4cm，符合三角形三边关系；
所以第三根长8cm．
故填8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为19．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=7海里．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】计算题．
【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD=90°﹣60°=30°
且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°
∴∠PAB=∠APB
∴BP=AB=7（海里）
故答案是：7．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．
16．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．
【考点】全等三角形的性质；坐标与图形性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．
【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，
点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），
故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．
【点评】本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
三、解答题（本大题共9小题，共92分）
17．如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据题干中给出条件和公共边AC即可证明△BAC≌△DAC，即可解题．
【解答】证明：在△BAC和△DAC中，
，
∴△BAC≌△DAC（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，本题中求证△BAC≌△DAC是解题的关键．
18．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠EDC的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，∠AED=80°，
∴∠ACB=∠AED=80°（两直线平行，同位角相等），
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD= ∠ACB=40°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=40°（两直线平行，内错角相等）．
【点评】这类题首先利用平行线的性质确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
19．已知：如图：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—基本作图．
【分析】可利用边边边作两个三角形全等得到相应的角相等．
【解答】解：作法：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于两点M、N；
②分别以点M、N为圆心，以大于 MN长为半径作弧，两弧相交于点C；
③作射线OC．
【点评】考查了基本作图的知识，用到的知识点为：边边边可证得两三角形全等；全等三角形的对应角相等．
20．如图，写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标，并在图中画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】利 用关于x轴对称点的性质以及关于y轴对称点性质分别得出对应点坐标进而得出答案．
【解答】解：△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标分别为：
A1（﹣3，﹣2），B1（﹣4，3），C1（﹣1，1），
如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．
21．求出下列图形中的x值．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据五边形的内角和等于540°，列方程即可得到结果．
【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540，
∴90°x°+（x﹣10）°+x°+（x+20）°=540°，
解得： x=110°．
【点评】本题考查了五边形的内角和，熟记五边形的内角和是解题的关键．
22．如图，△ABC，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，求CD的长．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据题意得出∠A=30°，根据角平分线的性质得出∠A=∠ABD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得CD= DB，即可得出CD=4．
【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴∠DB=AD=8，
∵∠C=90°，
∠CBD=30°，
∴CD= DB，
∴CD=4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的判定和性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
23．如图，CD⊥DB于D，AB⊥DB于B，CD=EB，AB=ED．求证：CE⊥AE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据SAS证△EDC≌△ABE，推出∠CED=∠A，根据∠B=90°求出∠A+∠AEB=90°，推出∠CED+∠AEB=90° ，求出∠CEA=90°即可．
【解答】解：∵CD⊥DE，AB⊥DB，
∴∠D=∠B=90°，
在△EDC和△ABE中
∵ ，
∴△EDC≌△ABE（SAS），
∴∠CED=∠A，
∵∠B=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠CED+∠AEB=90°，
∴∠CEA=90°，
∴CE⊥AE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，解决本题的关键是证明三角形全等．
24．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【解答】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：
∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴DC=CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，CF平分DE（三线合一）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE．
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD=CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）
（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；
（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．
（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；
（2）成立，
如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中
∴△BFD≌△DCE，
∴CE=DF=AD，
即AD=CE．
（3）（2）中的结论仍成立，
如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
在 △BPD和△DCE中，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．