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2011届高考数学第一轮巩固与练习题巩固
1．曲线C的方程是y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是( )
A．(0,0) B．(，) C．(1,5) D．(4,4) 解析：选D.∵1≤x≤5，∴C、D中点的横坐标满足，又曲线上点的纵坐标与横坐标相等，故只有D满足． 2．已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝－x对称，则C2的准线方程为( ) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 解析：选A.因y＝2x2的准线方程为y＝－，关于y＝－x对称方程为x＝. 3．(原创题)设x1、x2∈R，常数a>0，定义运算“*”：x1*x2=( x1+x2)2-( x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 解析：选D.∵x1* x2＝( x1+x2)2-( x1-x2)2， ∴=＝2. 则P(x,2)．设P(x1，y1)， 即 消去x得y12＝4ax1(x1≥0，y1≥0)． 故点P的轨迹为抛物线的一部分． 4．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________． 解析：因为抛物线顶点在原点，焦点F(1,0)，故抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)， 则y12＝4x1，y22＝4x2. ∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， ∴kAB＝＝1， ∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x. 答案：y＝x 5．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________． 解析：过A、B两点的直线为：x＋y＝a与抛物线y＝x2－2x－3联立得：x2－x－a－3＝0. 因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即Δ＝1＋4(a＋3)＜0， 解之得a＜－. 答案：(－∞，－) 6．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切． (1)求椭圆C1的方程； (2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程． 解：(1)由e＝，得＝1－e2＝； 由直线l：x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝b2相切，得＝|b|. 所以，b＝，a＝ 所以椭圆的方程是＋＝1.(2)由条件，知|MF2|＝|MP|，即动点M到定点F2(1,0)的距离等于它到直线l1：x＝－1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2＝4x.
练习
1．下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x＝2 B．方程y＝x2(x≥0)的曲线是抛物线 C．已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|－|PB|＝|AB|，则P点的轨迹是双曲线 D．第一、三象限角平分线的方程是y＝x 解析：选D.曲线与方程概念：(1)曲线上所有点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．选项A符合(1)但不符合(2)．选项B符合(2)但不符合(1)．选项C符合(2)但不符合(1)．选项D符合(1)、(2)．故选D. 2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( ) A．[－，] B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 解析：选C.设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1且k≠0.所以－1≤k≤1. 3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( ) A．2 B. C. D. 解析：选C.设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝4×≤. 4．抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( ) A．(，) B．(1,1) C．(，) D．(2,4) 解析：选B.设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离d＝＝＝， ∴x＝1时，d取最小值，此时P(1,1)． 5．(2009年高考山东卷)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A. B．5 C. D. 解析：选D.不妨设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(－)2－4＝0，所以＝2，e＝＝＝＝，故选D. 6．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若＝λ，(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选B.设M(x，y)，P(x0，y0)， 则Q(x0,0)，由＝λ 得(λ>0) ∴ 由于x02＋y02＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1. ∴M的轨迹是椭圆． 7．(2009年高考福建卷)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 解析：∵F(，0)，∴设AB：y＝x－与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p. 由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2. 答案：2 8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________． 答案：2 9．过抛物线y2＝4x的焦点，且倾斜角为π的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△OPQ的面积等于________． 解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则S＝|OF|·|y1－y2|. 直线为x＋y－1＝0，即x＝1－y代入y2＝4x得： y2＝4(1－y)，即y2＋4y－4＝0，∴y1＋y2＝－4，y1y2＝－4， ∴|y1－y2|＝＝＝4， ∴S＝|OF|·|y1－y2|＝×4＝2. 答案：2 10．已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和，求动点M的轨迹方程． 解：设MN切圆C于N，又圆的半径为|CN|＝1， 因为|CM|2＝|MN|2＋|CN|2＝|MN|2＋1， 所以|MN|＝. 由已知|MN|＝|MQ|＋1，设M(x，y)，则 ＝＋1， 两边平方得2x－3＝， 即3x2－y2－8x＋5＝0(x≥)． 11.(2009年高考辽宁卷)已知，椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． 解：(1)由题意，知c＝1，可设椭圆方程为＋＝1. 因为A在椭圆上，所以＋＝1， 解得b2＝3，b2＝－(舍去)． 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4(－k)2－12＝0. 设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A(1，)在椭圆上，所以xE＝，yE＝kxE＋－k. 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.所以直线EF的斜率kEF＝＝＝. 即直线EF的斜率为定值，其值为. 12．已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1.试证明：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围． 解：(1)由x＋ky－3＝0得，(x－3)＋ky＝0， 所以直线过定点(3,0)，即F为(3,0)． 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 则解得 故所求椭圆C的方程为＋＝1. (2)因为点P(m，n)在椭圆C上运动，所以＋＝1. 从而圆心O到直线l的距离 d＝＝＝ ＜1. 所以直线l与圆O恒相交． 又直线l被圆O截得的弦长 L＝2＝2 ＝2， 由于0≤m2≤25， 所以16≤m2＋16≤25，则L∈[，]， 即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[，]