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课时作业12 匀速圆周运动
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(8×8′＝64′)
图1
1．如图1所示，a、b是地球表面上不同纬度上的两个点，如果把地球看作是一个球体，a、b两点随地球自转做匀速圆周运动，这两个点具有大小相同的( )
A．线速度 B．角速度
C．加速度 D．轨道半径
解析：地球上各点(除两极点)随地球一起自转，其角速度与地球自转角速度相同，故B正确；不同纬度的地方各点绕地轴做匀速圆周运动，其半径不同，故D不正确；根据v＝ωr，a＝rω2可知，A、C不正确．
答案：B
图2
2．如图2所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的线速度大小不变
D．B物体运动的角速度与半径成正比
解析：对于物体A有aA∝1r，与a＝v2r相比较，则vA大小不变，所以A物体的线速度大小不变．对于物体B有aB∝r，与a＝rω2相比较，则ωB不变，故选项A正确．
答案：A
图3
3．如图3所示，将完全相同的两小球A、B用长为L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右运动的小车顶部，两小球与小车前后竖直壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FB∶FA为(g＝10 m/s2)( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：当车突然停下时，B不动，绳对B的拉力仍等于小球的重力；A向右摆动做圆周运动，则突然停止时，A点所处的位置为圆周运动的最低点，由此可以算出此时绳对A的拉力为FA＝mg＋mv2L＝3mg，所以FB∶FA＝1∶3，C正确．
答案：C
图4
4．如图4所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细绳拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，然后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法中正确的是( )
A．在释放瞬间，支架对地面压力为(m＋M)g
B．在释放瞬间，支架对地面压力为Mg
C．摆球到达最低点时，支架对地面压力为(m＋M)g
D．摆球到达最低点时，支架对地面压力为(3m＋M)g
解析：刚释放时，绳对支架没有作用力，故支架对地面的压力等于支架重力；摆球到达最低点时，设其速度为v，由动能定理得mgL＝12mv2①
由牛顿第二定律，得F－mg＝mv2L②
由①②式得F＝3mg.对支架，由平衡条件得
FN＝Mg＋3mg.
答案：BD
图5
5．在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A和B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A的位置在小球B的上方，如图5所示．下列判断正确的是( )
A．A球的速率大于B球的速率
B．A球的角速度大于B球的角速度
C．A球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力
D．A球的转动周期大于B球的转动周期
图6
解析：此题涉及物理量较多，当比较多个量中两个量的关系时，必须抓住不变量，而后才能比较变量．先对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力FN.如图6所示，对A球据牛顿第二定律：
FNAsinα＝mg①
FNAcosα＝mvA2rA＝mωA2rA②
对B球据牛顿第二定律：
FNBsinα＝mg③
FNBcosα＝mvB2rB＝mωB2rB④
由两球质量相等可得FNA＝FNB，C项错．
由②④可知，两球所受向心力相等．
mvA2rA＝mvB2rB，因为rA>rB，所以vA>vB，A项正确．
mωA2rA＝mωB2rB，因为rA>rB，所以ωA<ωB，B项错误．
又因为ω＝2πT，所以TA>TB，D项是正确的．
答案：AD
图7
6．如图7所示的皮带传动装置中，点A和B分别是两个同轴塔轮上的点，A、B、C分别是三个轮边缘的点，且RA＝RC＝2RB，则三质点角速度和线速度的关系分别为(皮带不打滑)( )
A．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1，vA∶vB∶vC＝1∶2∶1
B．ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，vA∶vB∶vC＝2∶1∶1
C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶2，vA∶vB∶vC＝1∶1∶2
D．ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，vA∶vB∶vC＝1∶2∶2
解析：因皮带不打滑，传动带上各处线速度大小相同，故vB＝vC，因A、B在同一圆盘上，故角速度相等，即ωA＝ωB，再由线速度与角速度的关系式v＝ωr，因RA＝2RB，有vA＝2vB，又RC＝2RB，有ωB＝2ωC，将各式联系起来可知B正确．
答案：B
图8
7．如图8所示，某种变速自行车有六个飞轮和三个链轮，链轮和飞轮的齿数如下表所示．前后轮直径为660 mm，人骑自行车行进速度为4 m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为( )
名称 链轮 飞轮
齿数N/个 48 38 28 15 16 18 21 24 28
A.1.9 rad/s B．3.8 rad/s
C．6.5 rad/s D．7.1 rad/s
解析：车行进速度与前、后车轮边缘的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4 m/s，后轮的角速度
ω＝v/R＝4330×10－3 rad/s≈12 rad/s.
飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω1＝ω＝12 rad/s.
飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1、r2分别为飞轮和链轮的半径，轮周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2.
又踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角速度ω3＝ω2，则ω3＝ω1N1N2，要使ω3最小，则N1＝15，N2＝48，
故ω3＝12×1548 rad/s＝3.75 rad/s≈3.8 rad/s.
答案：B
图9
8．质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图9所示，那么( )
A．因为速率不变，所以石块的加速度为零
B．石块下滑过程中受的合外力越来越大
C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变
D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心
解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心，D对，A错；由F合＝F向＝ma向知合外力大小不变，B错；又因石块在运动方向(切线方向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减小，C错．
答案：D
二、计算题(3×12′＝36′)
9．(2011•广州模拟)如图10用细线吊着一个小球，使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动；圆周运动的水平面与悬点的距离为h，与水平地面的距离为H.若细线突然在A处断裂，求小球在地面上的落点P与A的水平距离．
图10 图11
解析：设小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动的速度为v
根据F向＝mv2R有
mgtanθ＝mgRh＝mv2R
则v＝Rgh
若细线突然在A处断裂，小球以速度v做平抛运动，在地面上落点P的位置与A处的切线在同一竖直平面上，设与A处的水平距离为x；则有
H＝12gt2 x＝vt
解得x＝R 2Hh.
答案：R 2Hh
图12
10．质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图12所示，周期为T.当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动．为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？
解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P的旋转情况可知，只有当P运动到圆周上的C点时P、Q的速度大小和方向才相同，即质点P转过n＋34周(n＝0,1,2,3，…)，经历的时间t＝n＋34T(n＝0,1,2,3，…)，
质点P的速率为v＝2πRT.
在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得v＝Fmt，
联立以上三式，解得F＝8πmR4n＋3T2(n＝0,1,2,3，…)．
答案：F＝8πmR4n＋3T2(n＝0,1,2,3，…)
图13
11．在光滑的水平面上，用一根轻绳系着一个质量为3 kg的小球以10 m/s的速度绕O点做匀速圆周运动，半径为4 m，若运动到A点，突然将绳再放长4 m，绳绷紧后小球转入到另一轨道上做匀速圆周运动．求：
(1)小球从放绳开始到运动到O点另一侧与AO两点共线的B点所用的时间；
(2)在B点绳子所受到的拉力．
图14
解析：(1)小球做匀速圆周运动，突然放绳则小球以原有的速度做匀速直线运动到C，在C点绳突然拉直，则x＝8 m，沿绳方向的速度vy突变为0，而小球将以vx做匀速圆周运动，到达B点．
由几何关系可知：
s1＝AC＝OC2－OA2＝43 m
∠AOC＝60°＝π/3，t1＝s1v＝4310 s
θ＝∠BOC＝120°＝2π/3
在C点，由矢量三角形可知：
vx＝vcos60°＝v/2＝5 m/s
t2＝θR2vx＝2π×83×5 s＝16π15 s
t总＝t1＋t2＝4310 s＋16π15 s＝4.04 s
(2)在B点，则有F＝mvx2R2＝9.375 N.
答案：(1)4.04 s (2)9.375 N