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课时作业7 共点力作用下物体的平衡
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(8×8′＝64′)
图1
1．如图1，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ.斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦，用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为( )
A．(M＋m)g B．(M＋m)g－F
C．(M＋m)g＋Fsinθ D．(M＋m)g－Fsinθ
解析：m匀速上滑，M静止，均为平衡态，将m、M作为系统，在竖直方向有Mg＋mg＝N＋Fsinθ得N＝(Mg＋mg)－Fsinθ，即D正确，ABC错误．
答案：D
图2
2．如图2所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30°.AB连线与OB垂直．若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力为( )
A．Gcos30° B．Gcos60°
C．Gcos45° D．2G
解析：小球A电量加倍后，球B仍受重力G、绳的拉力T、库仑力F，但三力的方向已不再具有特殊的几何关系．若用正交分解法，设角度，列方程，很难有结果．此时应改变思路，并比较两个平衡状态之间有无必然联系．于是交正交分解为力的合成，注意观察，不难发现：AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：AO/G＝OB/T.说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变．由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：T＝Gcos30°.球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30°.A正确．
答案：A
图3
3．一质量为M的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g，现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为( )
A．2(M－Fg) B．M－2Fg
C．2M－Fg D．0
解析：设气球所受阻力为f＝kv，当气球匀速下降时，有Mg＝F＋kv，当气球匀速上升时，有(M－m0)g＋kv＝F，解之可得m0＝2(M－Fg)，即A正确．
答案：A
图4
4．如图4所示，一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β；a、b是两个位于斜面上质量均为m的木块，已知所有接触面都是光滑的．现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于( )
A．Mg＋mg B．Mg＋2mg
C．Mg＋mg(sinα＋sinβ) D．Mg＋mg(cosα＋cosβ)
图5
解析：由于各接触面是光滑的，a、b两物体均加速下滑，分析M受力：M自身的重力G，地面的支持力FN，a对M的压力Fa＝mgcosα，b对M的压力Fb＝mgcosβ.如图5所示．
利用正交分解，在竖直方向上合力为零．
FN＝G＋Fbcosβ＋Facosα
＝G＋mgcos2α＋mgcos2β
因为α与β互余，所以cos2α＋cos2β＝1.
所以FN＝G＋mg＝Mg＋mg
答案：A
图6
5．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图6所示)．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是( )
A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小
C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小
解析：
图7
以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN＝2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α， 则P环向左移的过程中α将减小，N＝mgtanα也将减小．再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f＝N也减小．
答案：B
图8
6．如图8所示，质量m1＝10 kg和m2＝30 kg的两物体，叠放在动摩擦因数为0.50的粗糙水平地面上，一处于水平位置的轻弹簧，劲度系数为250 N/m，一端固定于墙壁．另一端与质量为m1的物体相连，弹簧处于自然状态，现用一水平推力F作用于质量为m2的物块上，使它缓慢地向墙壁一侧移动，当移动0.40 m时，两物体间开始相对滑动，这时水平推力F的大小为(g取10 m/s2)( )
A．100 N B．300 N
C．200 N D．250 N
解析：当两物体相对滑动时，处于一种临界状态，整体合力仍为零，对整体受力分析，水平方向受弹簧的弹力、地面的摩擦力和水平推力，由平衡条件得：
F＝kx＋μ(m1＋m2)g
＝250×0.4 N＋0.5×40×10 N＝300 N.
答案：B
图9
7．如图9所示，物块M通过与斜面平行的细绳与小物块m相连．斜面的倾角α可以改变．讨论物块M对斜面的摩擦力的大小，则有( )
A．若物块M保持静止，则α角越大，摩擦力一定越大
B．若物块M保持静止，则α角越大，摩擦力一定越小
C．若物块M沿斜面下滑，则α角越大，摩擦力越大
D．若物块M沿斜面下滑，则α角越大，摩擦力越小
解析：若物块M保持静止，所受摩擦力为静摩擦力，其大小等于绳上拉力mg与物块M沿斜面方向的重力分量Mgsinα的合力，当mg>Mgsinα时，摩擦力方向沿斜面向下，其大小等于(mg－Mgsinα)，则α越大，摩擦力越小，当mg<Mgsinα时，摩擦力方向沿斜面向上，其大小等于(Mgsinα－mg)，则α越大，摩擦力越大；若物块M沿斜面下滑，所受摩擦力为滑动摩擦力，其大小等于μFN＝μMgcosα，α越大，摩擦力越小．
答案：D
图10
8．如图10所示，A、B是两根竖直立在地上的木桩．轻绳系在两木桩上不等高的P、Q两点，C为光滑的质量不计的滑轮．下面悬挂着重物G，现保持结点P的位置不变，当Q点的位置变化时，轻绳的张力大小的变化情况是( )
A．Q点上下移动时，张力不变
B．Q点向上移动时，张力变大
C．Q点向下移动时，张力变小
D．条件不足，无法判断
解析：滑轮轻质且光滑，两侧细绳的拉力大小相等，设两绳夹角为θ，则有：2Fcosθ2＝mg
且d＝LPC•sinθ2＋LCQsinθ2＝L•sinθ2
其中L为PQ绳全长，d为A、B两木桩间距离
故sinθ2＝dL
∴θ角一定，相应地，绳子中的张力大小不随Q点上下移动而改变．
答案：A
二、计算题(3×12′＝36′)
图11
9．如图11所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱的支持力和摩擦力各为多少？
解析：选取B为研究对象，它受到重力mg、三棱柱对它的支持力FNB、墙壁对它的弹力F的作用(如图12甲所示)而处于平衡状态，根据平衡条件有：
图12
竖直方向上：FNBcosθ＝mg
水平方向上：FNB•sinθ＝F
解得F＝mgtanθ
再以A和B整体为研究对象，它受到重力(M＋m)g、地面支持力FN、墙壁的弹力F和地面的摩擦力Ff的作用(如图12乙所示)而处于平衡状态．根据平衡条件有：
FN－(M＋m)g＝0 F＝Ff
可得：FN＝(M＋m)g，Ff＝F＝mgtanθ.
答案：(M＋m)g mgtanθ
10．当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度．已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力F＝krv，k是比例系数．对于常温下的空气，比例系数k＝3.4×10－4N•s/m2.已知水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，取重力加速度g＝10 m/s2，试求半径r＝0.10 mm的球形雨滴在无风情况下的终极速度vT.(结果取两位有效数字)
解析：雨滴下落时受两个力作用：重力，方向竖直向下；空气阻力，方向竖直向上，当雨滴达到终极速度vT后，加速度为零，二力平衡，用m表示雨滴的质量，有
mg－krvT＝0 ①
m＝43πr3ρ ②
由①②得终极速度vT＝4πr2ρg3k
代入数值得vT＝1.2 m/s
答案：1.2 m/s
图13
11．一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B(中央有孔)，A、B间由细绳连接着，它们处于如图13中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，A、B间的细绳呈伸直状态，且与水平线成30°角．已知B球的质量为3 kg，求细绳对B球的拉力和A球的质量．(g取10 m/s2)
解析：
图14
对B球受力分析如图14所示，物体B处于平衡状态有：Tsin30°＝mBg
T＝2mBg＝2×3×10 N＝60 N
物体A处于平衡状态有：
在水平方向：Tcos30°＝NAsin30°
在竖直方向：NAcos30°＝mAg＋Tsin30°.
由上两式解得：mA＝2mB＝6 kg
答案：60 N 6 kg