【www.doubiweb.com--数学】
高考专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形
A级——基 础巩固组
一、选择题
1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，则sinα＋cosα＝( )
A．－15 B.15
C．－75 D.75
解析 ∵α∈－π4，0，∴cosα>0>sinα且cosα>|sinα|，则sinα＋cosα＝1＋sin2α＝ 1－2425＝15.
答案 B
2．若sinπ4＋α＝13，则cosπ2－2α等于( )
A.429 B．－429
C.79 D．－79
解析 据已知可得cosπ2－2α＝sin2α
＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.
答案 D
3．(2014•河北衡水一模)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，－π2<α<0，则cosα＋2π3等于( )
A．－45 B．－35xkb1.com
C.45 D.35
解析 ∵sinα＋π3＋sinα＝－435，－π2<α<0，
∴32sinα＋32cosα＝－435，
∴32sinα＋12cosα＝－45.
∴cosα＋2π3＝cosαcos2π3－sinαsin2π3＝－12cosα－32sinα＝45.
答案 C
4．(2014•江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( )
A．3 B.932
C.332 D．33
解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b 2－2ab＋6.①
∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.
答案 C
5．(2014•江西七校联考)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三 角形 B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosA•sinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，
则有A＋B＝π2，故三角形为直角三角形．
答案 D
6．(2014•东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，则B＝( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.3π4
解析 由sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入整理得c－bc－a＝ac＋b⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝12，所以B＝ π3，故答案为C.
答案 C
二、填空题
7．设θ为第二象限角，若ta nθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________.
解析 tanθ＋π4＝1＋tanθ1－tanθ＝12，解得tanθ＝－13，又θ为第二象限角，得sinθ＝1010，cosθ＝－31010，所以sinθ＋cosθ＝－105.
答案 －105
8．(2014•天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝14a,2sinB＝3si nC，则cosA的值为________．
解析 由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.
又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.
由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.
答案 －14
9．(2014•四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)
解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．
根据已知的图形可得AB＝46sin67°.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得ABsin30°＝BCsin37°，所以BC≈2×460.92×0.60＝60(m)．
答案 60
三、解答题
10．(2014•广东卷)已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f512π＝32.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f34π－θ.
解 (1)f5π12＝Asin5π12＋π4＝Asin2π3＝32，
∴A＝32•23＝3.
(2)由(1)得：f(x)＝3sinx＋π4，
∴f(θ)＋f(－θ)＝3sinθ＋π4＋3sin－θ＋π4
＝3sinθcosπ4＋cosθsinπ4＋
3sin－θcosπ4＋cos－θsinπ4
＝23cosθs inπ4＝6cosθ＝32w
∴cosθ＝64，又∵θ∈0，π2，∴sinθ＝104.
∴f3π4－θ＝3sin3π4－θ＋π4＝ 3sin(π－θ)＝3sinθ＝3×104＝304.
11．(2014•辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a >c.已知BA→•BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解 (1)由BA→•BC→＝2，得c•acosB＝2，
又cosB＝13，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解ac＝6a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝ 1－132＝223，
由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23•223＝429.
因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝ 1－4292＝79.
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC
＝13•79＋223•429＝2327.
B级——能力提高组
1．(2014•重庆卷)已知△ABC的内角A，B， C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边， 则下列不等式一定成立的是( )
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>162
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
解析 由sin2A＋sin(A －B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，
得sin2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝12，
所以sin2A＋2sinAcos(B－C)＝12.
所以2sinA[cosA＋cos(B－C)]＝12，
所以2sinA[cos(π－(B＋C)＋cos(B－C)]＝12，
所以2sinA[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝12，
即得sinAsinBsinC＝18.
根据三角形面积公式S＝12absinC，①
S＝12acsinB，②
S＝12bcsinA，③
因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8.将①②③式相乘得1≤S3＝18a2b2c2sinAsinBsinC≤8，即64≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤162，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c>a，得bc(b＋c)>8一定成立，而a＋b>c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于162，故选A.
答案 A
2．(2014•课标全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．
解析 由正弦定理 ，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)•c.
∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.
∴sinA＝32.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.
∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.
∴S△ABC＝12bc•sinA≤3，即(S△ABC)max＝3.
答案 3
3．(2014•河北唐山统考)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2B＋C2－cos2A＝72.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值．
解 (1)因为A＋B＋C＝π，
所以sinB＋C2＝sinπ－A2＝cosA2，
所以由已知得4cos2A2－cos2A＝72，
变形得2(1＋cosA)－(2cos2A－1)＝72，w
整理得(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝12.
因为A是三角形的内角，所以A＝π3.
(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×1sinC×1sinB×32＝34sinBsinC.
设y＝4sinBsinC，
则y＝4sinBsin2π3－B＝23sinBcosB＋2sin2B＝3sin2B＋1－cos2B＝2sin2B－π6＋1.
因为0<B<π2，0<2π3－B<π2，
所以π6<B<π2，从而π6<2B－π6<5π6，
故当2B－π6＝π2，即B＝π3时，S的最小值为33.
本文来源：http://www.doubiweb.com/jxzl/766453.html
