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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2015•福建泉州）已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ）
A.11 B.5 C.2 D.1
2. 等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是（ ）
A．15 cm B．20 cm C．25 cm D．20 cm或25 cm
3. 命题：① 邻补角互补；② 对顶角相等；③ 同旁内角互补；④ 两点之间线段最短；
⑤直线都相等.其中真命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（ ）
A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定
5.（2015•福建漳州中考）下列命题中，是假命题的是（ ）
A.对顶角相等
B.同旁内角互补
C.两点确定一条直线
D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
6. 对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
7. 不一定在三角形内部的线段是（ ）
A.三角形的角平分线 B.三角形的中线
C.三角形的高 D.以上皆不对
8. 如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
的度数是（ ）
A. 180° B.360° C.540° D.720°
9. 下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是（ ）
A．基本事实和定理都是真命题
B．基本事实就是定理，定理也是基本事实
C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明
10.（2015•山东滨州）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（ ）
A.45° B.60° C.75° D.90°
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2015•四川南充中考）如图，点D在△ABC边BC的延长线上， CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是＿＿＿＿＿度．
第11题图
12.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度．
13.“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的条件是 ，
结论是 .
14.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
15.设 为△ABC的三边长，则 .
16.如图所示，AB=29，BC=19，AD=20，CD=16，若AC= ，则 的取值范围为 .
17.如图所示，在△ABC中，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P是△ABC内一点，且∠1 = ∠2，则∠BPC=________.
18.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题.
三、解答题（共46分）
19.（6分） 下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直．
20.（6分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm的两个部分，求三角形各边的长．
21.（6分）如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P.
（1）当∠A=70°时，求∠BPC的度数；
（2）当∠A=112°时，求∠BPC的度数；
（3）当∠A= 时，求∠BPC的度数.
22.（6分）已知一个三角形有两边长均为，第三边长为 ，若该三角形的边长都为整数，试判断此三角形的形状．
23.（6分）如图所示，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D时，刚好BD=CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
24.（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
25.（8分）规定，满足（1）各边互不相等且均为整数，（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，这样的三角形称为比高三角形，其中k叫做比高系数．根据规定解答下列问题：
（1）求周长为13的比高系数k的值；
（2）写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长.
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明检测题参考答案
1.B 解析：根据三角形的三边关系，得64＜AC＜6+4，即2＜AC＜10．
所以边AC的长可能是5．
2.C 解析：因为三角形中任何两边的和大于第三边，所以腰长只能是10 cm，所以此三角形的周长是10+10+5=25（cm）.故选C.
3.C 解析：①②④是真命题；对于③，只有两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角才互补；对于⑤，直线不能测量长度，所以也不存在两条直线相等的说法，故选C.
4.C 解析：因为在△ABC中，∠ABC+∠ACB<180°，所以所以
∠BOC>90°.故选C.
5.B 解析：选项B错误，应为两直线平行，同旁内角互补；其余选项都正确.
6.C 解析：当∠1=∠2=45°，∠1+∠2也等于90°.故选C.
7. C 解析：因为三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以答案选C．
8. B 解析：三角形的外角和为360°.
9. B 解析：根据基本事实和定理的定义，可知A，C，D是正确的，B是错误的．故选B．
10. C 解析：∵ ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，所以∠C＝180°×＝180° ＝75°.
即∠C等于75°.
11.60 解析：∵ 是△ABC的一个外角，∴ ，
∵ CE平分∠ACD， ∴ .
12.270 解析：根据题意可知∠1+∠2=180°+180°-90°=360°-90°=270°.
13.两条直线被第三条直线所截 同位角相等
14.120°或20° 解析：设两个角分别是 ，4 ，①当 是底角时，根据三角形的内角和定理，得 =180°，解得 =30°，4 =120°，即底角为30°，顶角为120°；
②当 是顶角时，则 =180°，解得 =20°，从而得到顶角为20°，底角为80°.
所以该三角形的顶角为120°或20°．
15. 解析：因为 为△ABC的三边长，
所以 ， ，
所以原式=
16.10＜ ＜36 解析：在△ABC中，AB-BC<AC<AB+BC，所以10< <48；
在△ADC中，AD-DC<AC<AD+DC，所以4< <36.所以10< <36.
17.110° 解析：因为∠A=40°，∠ABC = ∠ACB，
所以∠ABC = ∠ACB=(180°-40°)=70°.
又因为∠1=∠2，∠1+∠PCB=70°，所以∠2+∠PCB=70°，
所以∠BPC=180°-70°=110°.
18.有两个角是锐角的三角形是直角三角形 假 解析：“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“有两个角是锐角的三角形是直角三角形”，假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但这个三角形不是直角三角形．故是假命题．
19.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面．再将题设与结论互换写出它的逆命题.
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题.
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；
逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题.
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；
逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题.
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；
逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题.
20.分析：因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．
解：设AB=AC=2 ，则AD=CD=.
（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2 =30，
∴ =10，2 =20，BC=24－10=14，
三边分别为20 cm，20 cm，14 cm．
（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，
∴ =8， ，BC=30－8=22，
三边分别为16 cm，16 cm，22 cm．
21.解：（1）∵ BP和CP分别是∠Ｂ与∠Ｃ的平分线，∴ ∠１＝∠２，∠３＝∠４.
∴ ∠2+∠4=（180°－∠A）=90°－∠A，∴ ∠BPC =90°+∠A.
∴ 当∠A=70°时，∠BPC =90°+35°=125°.
（2）当∠A=112°时，∠BPC=90°+56°=146°.
（3）当∠A= 时，∠BPC=90°+ .
22.分析：已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系，列出不等式，再求解.
解：根据三角形的三边关系，得
＜ ＜，
0＜ ＜6- ，
0＜ ＜．
因为3﹣ 是正整数，所以 =1．
所以三角形的三边长分别是2，2，2．
因此，该三角形是等边三角形．
23. 分析：（1）由于BD=CD，则点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）由于∠BAE=∠CAE，所以AE是三角形的角平分线；
（3）由于∠AFB=∠AFC=90°，则AF是三角形的高线．
解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，△ABC中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
（2）AE是△ABC中∠BAC的平分线，△ABC中角平分线有三条．
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，△ABC中有三条高线．
24.分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．
证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直定义）．
25.分析：（1）根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析；
（2）根据比高三角形的知识点结合三角形三边关系的知识点，进行判断只有四个比高系数的三角形的周长.
解：（1）根据定义和三角形的三边关系，知此三角形的三边是2，5，6或3，4，6，则k=3或2．
（2）如周长为37的三角形，只有四个比高系数，当比高系数为2时，这个三角形三边分别为9，10，18，当比高系数为3时，这个三角形三边分别为6，13，18，当比高系数为6时，这个三角形三边长分别为3，16，18，当比高系数为9时，这个三角形三边分别为2，17，18．