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广西武鸣高中2012届高三第二次模拟考试数学（理）试
3．参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；
如果事件A、B相互独立，那么P(A•B)=P(A)•P(B)；
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：Pn(k)=C •Pk•(1－P)n－k；（k=0，1，2，…，n）
球的表面积公式S= ；球的体积公式V球= ，其中R表示球的半径．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．复数 在复平面内的对应点到原点的距离为
A． B． C．1 D．
2．若 ，则 的元素个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列四个命题中的真命题为
A．若 ,则 B．若 ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ，则 、 、 成等比数列
4．函数 ，在 上的最大值与最小值之和为 ，则 等于
A．4 B． C．2 D．
5．已知 是边长为2的正△ 边 上的动点，则AP→•（AB→＋AC→）的
A．最大值为8 B．是定值6
C．最小值为2 D．与P的位置有关
6．已知等比数列 中，公比 ，若 ，则 最值情况为
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
7．五名上海世博会形象大使分别到香港、澳门、台湾进行世博会宣传，每个地方至少去1名形象大使，则不同的分派方法共有
A．150种 B．180种 C．240种 D．280种
8． 椭圆 的两焦点分别是 ，等边 的边 与该椭圆分别相交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
9．设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y= 的图像上存在区域D上的点，则 的取值范围是
A. (1,3] B. [2,3] C . (1,2] D .[ 3, ]
10．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有
两个动点E、F，且 ，则下列结论中错误的是
A．
B．
C．三棱锥 的体积为定值
D．异面直线 所成的角为定值
11．已知函数 ，则要得到其导函数 的图象，只需将函数 的图象
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
12．函数 的定义域为R，若 是奇函数， 是偶函数. 下列四个结论：
① ② 的图像关于点 对称
③ 是奇函数 ④ 的图像关于直线 对称
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.）
13．若 ，则其解析式中 的系数为 ★ ．
14．已知 ，则实数 的值为 ★ ．
15．设 为抛物线 的焦点，与抛物线相切于点 的直线 与 轴的交点为 ，则 的值是 ★ ．
16. 如图，在 二面角 内半径为1的圆 与
半 径为2的圆 分别在半平面 、 内，且与棱 切于同
一点P，则以圆 与圆 为截面的球的表面积等于 ★ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把解答过程写在答题卡相应位置上.）
17．（本小题满 分10分）已知函数 （其中 ＞0， ）的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
（2）在△ 中，若 ，且 ，求 ．
18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 是 的中点，且 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）当角 变化时，求直线 与平面 所成
的角的取值范围．
19．（本小题满分12分）为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ 应用，如“QQ农场”、“QQ音乐”、“QQ读书”等．市场调查表明，QQ用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为 ， ， ．现有甲、乙、丙三位QQ用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．
（1）求三人所选择的应用互不相同的概率；
（2）记 为三人中选择的应用是QQ农场与QQ音乐的人数，求 的分布列与数学期望．
20．（本小题满分12分）已知数列 是各项均不为0的等差数列， 为其前n项和，且满足 ，数列 满足 为数列 的前n项和。
（1）求数列 的通项 和 ；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
21．（本小题满分12分）已知 , ，点 满足 ，记点 的轨迹为 ，过点 作直线 与轨迹 交于 两点，过 作直线 的垂线 、 ，垂足分别为 ，记 。
（1）求轨迹 的方程；
（2）设点 ，求证：当 取最小值时， 的面积为 ．
22．（本小题满分12分）已知函数 （e是自然对数的底数）．
（1）若 函数 上的增函数，求 的取值范围；
（2）若对任意的 ，求满足条件的最大整数 的值．
武鸣高中2012届第二次模拟考试
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C D B B A C A D C B
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．5 14．2 15． 16．
，得 ，
∴ 或 ， ∴ 或 ． …………7分
………………10分
， ……11分
又 ，
， ， ．又 ， ．
即直线 与平面 所成角的取值范围为 ． ………………12分
19．解：记第 名用户选择的应用属于农场、音乐、读书分别为事件 ，i=1，2，3．由题意知 相互独立， 相互独立， 相互独立， （i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互独立，且 ．
（1）他们选择的应用互不相同的概率
（2）设3位用户选择的应用是QQ读书的人数是 ，由已知 ，且 =3－ ，
所以
（每求对一个 的概率给1分）
故 的分布列是
……………………10分
的数学期望是
（或者由 ， ） ……….12分
21．（本题满分12分）
解：（1）由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支．
由c＝2,2a＝2，∴b2＝3．故轨迹S的方程为x2－y23＝1 (x≥1) …….……4分
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0． ……5分
∴ 解得k2 ＞3．…… 7分
|AP|•|BQ|＝ ＝14(2x1－1)(2x2－1)
＝14[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－x1＋x22＋14
＝4k2＋3k2－3－2k2k2－3＋14＝2k2＋3k2－3＋14＝94＋9k2－3＞94． ………..…………..9分
当斜率不存在时，|AP|•|BQ|＝94，∴λ的最小值 为94． ………………10分
此时，|PQ|＝6，|MF2|＝3，S△PMQ＝12|MQ|•|PQ|＝9． ………………12分
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