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（考试时间120分钟,试卷满分150分）
一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）
1. （文）设集合 ， ，则 等于 ( )
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
(理)设i为虚数单位，则复数5－6ii等于 ( )
A．6＋5i B．6－5i C．－6＋5i D．－6－5i
2. 已知命题 ，以下正确的是 （ ）
A. B.
C． D.
3．函数 的值域为 ( )
A. B. C. D.
4.已知△ABC的周长为20，且顶点 ，
则顶点A的轨迹方程是 （ ）
A. B.
C. D.
5．已知 , 若 , 则 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
6.“ ”是“椭圆 的离心率 ”的 （ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( )
A． ， B． ， 且
C． ， D． ，
8.当 在 上变化时，导函数 的符号变化如下表：
4
－ 0 + 0 －
则函数 的图象的大致形状为 （ ）
9.对于R上可导的任意函数 ，若满足 , 则必有 ( )
A． B．
C． D．
10.（文科）若点P为共焦点的椭圆 和双曲线 的一个交点, 、 分别
是它们的左右焦点.设 椭圆离心率为 ，双曲线离心率为 ，若 ,则 （ ）
A.1 B. 2 C.3 D.4
（理科）过双曲线 的左焦点 作圆： 的切线，切点为E ，延长FE交双曲线右支于点P ，若 ，则双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共5小题, 每小题5分, 共25分）
11. ．
12. 已知双曲线 的离心率为 ，一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 ．
13. 已知函数 , 若 ，
则实数 的取值范围是 .
14. 函数 在[1,3]上单调递增，则 的取值范围是
15. 已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为奇函数，给出以下四个命题：
①函数 是周期函数； ②函数 的图像关于点 对称；
③函数 为 上的偶函数； ④函数 为 上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
三．解答题（本大题共6小题, 共75分，需写出必要的解答或推证过程）
16.（本题满分12分）
已知 函数 ，
（1）当 时， 在点 处的切线平行于直线 ，求 的值；
（2）若 在点 处有极值，求 的表达式.
17. （本题满分12分）
已知一条曲线 在 轴右边， 上每一点到点 的距离与它到直线 的距离相等.(1)求曲线 的方程； (2)是否存在正数m，使得过点 且斜率 的直线与曲线 有两个交点A 、B，且满足 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数 的单调区间与极值。
（2）若 有3个零点，求 的取值范围.
19. （本题满分12分）
已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若 且 时，有 成立． (1)判断 在 上的单调性，并证明它；
(2)解不等式： ；
(3)若 对所有的 恒成立，求实数m的取值范围．
20. （本题满分13分）
（文）已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 相交于两
点 .
（1）若 与 轴相交于点P，且P为 的中点，求直线 的方程；
（2）设点 ，求 的最大 值.
（理）直线 与椭圆 交于 ， 两点，已知， , ，若 且椭圆的离心率 ，又椭圆过
点 ，O为原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线 过椭圆的焦点 （c为半焦距），求直线 的斜率 的值；（3）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
21.（本题满分14分）已知函数
(1)若 在定义域内的单调性；
(2)若 的值；
(3)若 上恒成立，求 的取值范围。
成都七中实验学校高2015届高二下数学第三月月考试题
命题人: 张发友 审题人: 高二数学组
（考试时间120分钟,试卷满分150分）
一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）
1. (理)设i为虚数单位，则复数5－6ii等于 ( D )
A．6＋5i B．6－5i C．－6＋5i D．－6－5i
解析 5－6ii＝5－6iii2＝－(5i－6i2)＝－(5i＋6)＝－6－5i，故选D
（文）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 等于 ( C )
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴ ={3,5,6}w w w .x k b 1.c o m
2. 已知命题 ，以下正确的是（ C ）
A. B.
C． D.
3．函数 的值域为( A )
A. B. C. D.
4.已知△ABC的周长为20，且顶点 ，
则顶点A的轨迹方程是（ B ）
A. B.
C. D.
5．已知 ,若 ,则 的值等于（ D ）
A． B． C． D．
6.“ ”是“椭圆 的离心率 ”的（ A ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( B )
A． ， B． ， 且x≠0
C． ， D． ，
8.当 在 上变化时，导函数 的符号变化如下表：
1 （1，4） 4
－ 0 + 0 －
则函数 的图象的大致形状为（ C ）
9.对于R上可导的任意函数 ，若满足 , 则必有 ( D )
A． B．
C． D．
解析: 当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，∴f(2)>f(1)，
当x≤1时，f′(x)≤0，f(x)为减函数，∴f(0)>f(1)，
∴f(0)＋f(2)>2f(1).
10.（文科）若点P为共焦点的椭圆 和双曲线 的一个交点, 、 分别
是它们的左右焦点.设 椭圆离心率为 ，双曲线离心率为 ，若 ,则 （ B ）
A.1 B. 2 C.3 D.4
（理科）过双曲线 的左焦点 作圆： 的切线，切点为E ，延长FE交双曲线右支于点P ，若 ，则双曲线的离心率为 （ A ）
A. B. C. D.
解：∵
∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2 OE=a，
∵E为切点，∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中， 即9a2+a2=4c2
所以离心率 故答案选A．
二．填空题（本大题共5小题, 每小题5分, 共 25分）
11. ．
12. 已知双曲线 的离心率为 ，一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 ．
解： 双曲线方程：x24－y212＝1，∴渐近线方程为y＝±bax＝±3x，
即3x±y＝0.
13. 已知函数 , 若 ，
则实数 的取值范围是 .
解析 由题意知f(x)在R上是增函数，由题意得2－a2>a，解得－2<a<1.
14. 函数 在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是
解析 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，
∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
因此a>1.又y＝ax－3在[ 1,3 ]上恒为正，
∴a－3>0，即a>3，故答案 (3，＋∞).
15. 已知定义在R上的函数 满足条件 ，且函数 为奇函数，给出以下四个命题：
①函数 是周期函数； ②函数 的图像关于点 对称；
③函数 为R上的偶函数； ④函数 为R上的单调函数．
其中真命题的序号为________．
答案 ①②③
解析 由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，①为真命题；
又y＝fx－34关于(0,0)对称， y＝fx－34向左平移34个单位得y＝f(x)的图像，
则y＝f(x)的图像关于点－34，0对称，②为真命题；
又y＝fx－34为奇函数，∴fx－34＝－f－x－34，fx－34－34＝－f34－x－34＝－f(－x)，
∴fx－32＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－fx－32＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数．所以③为真命题 ，④为假命题．
三．解答题（本大题共6小题, 共75分，需写出必要的解答或推证过程）
16.（本题满分12分）
已知函数 ，
（1）当 时， 在点 处的切线平行于直线 ，求 的值；
（2）若 在点 处有极值，求 的表达式.
解：（Ⅰ） 当 时， .
所以 . ………..………..2分
依题意可得 , ，
即 解得 …………………6分
（Ⅱ）由 .
所以 . …………………7分
令 ，解得 ，（可用韦达定理）
由 ； ， 可得
所以 …………………12分
检验知，合题意。
17. （本题满分12分）
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点 的距离与它到直线 的距离相等.(1)求曲线C的方程； (2)是否存在正数m，使得过点 且斜率 的直线与曲线C有两个交点A 、B，且满足 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数 的单调区间与极值。
（2）若 有3个零点，求 的取值范围.
解:（1）因为 ，
当 时， ；当 时
所以 的单调增区间是 ； 的单调减区间是 …… …4分
当 变化时， 变化情况如下表：
递增
递减
递增
所以 的极大值为 ，极小值为 .…… …8分
（2）在区间 取
在区间 取
所以在 的三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点，当且仅当
因此， 的取值范围为. …… …12分
19. （本题满分12分）
已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若 ， 时，有 成立． (1)判断 在 上的单调性，并证明它；
(2)解不等式： ；
(3)若 对所有的 恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，
则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)＋f(－x2)x1＋(－x2)•(x1－x2)，
由已知得f(x1)＋f(－x2)x1＋(－x2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在[－1,1]上单调递增． …… …4分
(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，
∴x＋12<1x－1，－1≤x＋12≤1，－1≤1x－1≤1. ∴－32≤x<－1. …… …8分
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．
∴在[－1,1]上，f(x)≤1. 问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．
设g(a)＝－2m•a＋m2≥0.
g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，
必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2. …… …12分
20. （本题满分12分）
（文）已知椭圆C ，过点 的直线 与椭圆C相交于两点A、B.
（1）若 与x轴相交于点P，且P为AM的中 点，求直线 的方程；
（2）设点 ，求 的最大值.
由题设可得A、B的坐标是方程组 的解，
消去y得 ，
所以 ， …… …10分
则 ，
所以 ，
当 时，等号成立, 即此时 取得最大值1.
综上，当直线AB的方程为 或 时， 有最大值1. …… …12分
（理）直线 与椭圆 交于 ， 两点，已知， , ，若 且椭圆的离心率 ，又椭圆过
点 ，O为原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 过椭圆的焦点 （c为半焦距），求直线 的斜率k的值；
（3）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
解:（1）∵ ∴
∴椭圆的方程为 …… …4分
（2）依题意，设l的方程为
由
显然
由已知 得：
解得 …… …8分
（3）①当直线AB斜率不存在时，即 ，
由已知 ，得
又 在椭圆上， 所以
,三角形的面积为定值.
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为
必须 即
得到 ，
∵ ，∴
代入整理得：
所以三角形的面积为定值。…… …13分
21.（本题满分14分）
已知函数
(1)若 在定义域内的单调性；
(2)若 的值；
(3)若 上恒成立，求 的取值范围。
解：：（1）由题意
上是单调递增函数 …… …3分
（2）由（1）可知 ，
1）若
上为增函数，
（舍去）
2）若
上为减函数，
（舍去）
3）若
综上所述， …… …8分
（3） …… …10分