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第一篇 专题知能突破
专题三 电场和磁场
第2讲 带电粒子在复合场中的运动
质谱仪模型的分析及应用
质谱仪是课本中有单独内容讲解的一种测量带电粒子质量和分析同位素的重要工具．在高科技及探索未知世界方面有着极其广泛的应用．也是历年高考常考的部分．但质谱仪并不只有一种结构，在此将质谱仪模型化，使大家更清楚地了解质谱仪的功能和分析特点．
【例】 一质量为m，电荷量为q的粒子，从容器A下方的小孔S1进
入电势差为U的加速电场，然后让粒子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，最后打到照相底片D上，如图3－2－22所示．求：
(1)粒子进入磁场时的速率；
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径(忽略粒子所受重力)．
解析：(1)粒子进入加速电场时的速度很小，可以认为等于零，由动能定理12mv2＝qU，得v＝ 2qUm.
(2)粒子以此速进入磁场并做匀速圆周运动，轨道半径
r＝mvqB＝ 2mUqB2.
答案：(1) 2qUm (2) 2mUqB2
题后反思：由此式可以看出，在仪器数据固定的情况下，粒子打在底片上的位置由粒子的质量决定．所以已知粒子电量时，可以测量粒子质量，可以分析同位素的质量差别．这就是质谱仪的原理．
【变式1】 在如图3－2－23所示的S2、S3之间加入电场与磁场
的混合场．S2与S3之间的电容器两极板相距为d，两极板电压为U′，极板间的匀强磁场的磁感应强度为B′.调节S1与S2之间电压的大小，使粒子能沿直线穿过电容器，进入磁感应强度为B的匀强磁场．再重新计算上述例题中的问题．
解析：因粒子能直线穿过S2与S3之间的电容器，有
U′dq＝qvB，得粒子进入磁场的速度v＝U′Bd
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为
r＝mvqB＝mU′qB2d.
答案：见解析
题后反思：实际上，此质谱仪是课本例题中质谱仪的改进．带电粒子由容器A进入S1与S2之间的电场时，速度虽然很小，但并不严格为零．而且实验中的粒子不是一个，众粒子速度可能会有微小差别．这两点都会造成计算上的误差．而此题的质谱仪中，S2与S3之间的电容器其实是一个速度选择器，所有沿直线前进的粒子速度会完全相同，与这些能直线前进的粒子速度不同的粒子会在复合场中发生偏转而进入不了后面的磁场．而且计算从速度选择器入手，不涉及粒子的初速度，所以实验误差会大大减小．
【变式2】 如果提供不了例题中所需宽度的磁场(即粒子不能返回底片，而是穿过磁场射出)，例题也可变形为下面的形式．
图3－2－24
如图3－2－24，离子源A产生的初速为零、带电量均为e、质量不同的正离子被电压为U0的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板HM上的小孔S离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入磁感应强度为B的匀强磁场．已知HO＝d，HS＝2d，∠MNQ＝90°.(忽略粒子所受重力)
(1)求偏转电场场强E0的大小以及HM与MN的夹角θ；
(2)求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径；
(3)若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点S1处，质量为16m的离子打在S2处．求S1和S2之间的距离以及能打在NQ上的正离子的质量范围．
解析：
图a
(1)如图a所示，正离子被电压为U0的加速电场加速后速度设为v1，则对正离子，应用动能定理有eU0＝12mv21
正离子垂直射入匀强偏转电场，作类平抛运动．
受到电场力F＝eE0、产生的加速度为a＝Fm，即a＝eE0m
垂直电场方向匀速运动，有2d＝v1t，
沿场强方向：d＝12at2，联立解得E0＝U0d
又tan θ＝v1at，解得θ＝45°.
(2)正离子进入磁场时的速度大小为v2＝v21＋at2
解得v2＝2 eU0m
正离子在匀强磁场中作匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，qv2B＝mv22R
解得离子在磁场中做圆周运动的半径R＝2 mU0eB2.
图b
(3)如图b根据R＝2 mU0eB2可知：
质量为4m的离子在磁场中的运动打在S1上，运动半径为R1＝2 4mU0eB2
质量为16m的离子在磁场中的运动打在S2上，运动半径为R2＝2 16mU0eB2
又ON＝R2－R1，
由几何关系可知S1和S2之间的距离ΔS＝R22－ON2－R1
联立解得ΔS＝4(3－1) mU0eB2，由R′2＝(2R1)2＋(R′－R1)2，解得R′＝52R1，再根据12R1<R<52R1，
解得m<mx<25m.
答案：见解析
题后反思：质谱仪有很多形式，并不只有上面看到的几种，但无论什么结构的质谱仪都是利用带电粒子在电场和磁场中受力这一知识．