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2014年青岛市中考数学试题（Word版含答案）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有24道题．第Ⅰ卷1—8题为选择题，共24分；第Ⅱ卷9— 14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1． 的绝对值是（ ）．
A． B．7 C． D．
2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（ ）．
A． B． C． D．
4．在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．
据 此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）．
A．2.5万人 B．2万人 C．1.5万人 D．1万人
5．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2＝5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）．
A．内含 B．内 切 C．相交 D．外切
6．某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
7．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的
中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）．
A．4 B．
C．4.5 D．5
8．函数 与 （ ）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．计算： ．
10．某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下：
则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
11．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是 ．
12．如图， AB是⊙O的直径，BD，CD分别 是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是 °．
13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，对角线AC平分∠BCD， E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA＋PB的最小值为 ．
14．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改 变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要 个小立方块．
主视图 左视图 俯视图
三 、作图题（本题满分4分）
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．已知：线段a，∠α．
求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（本小题满分8分，每题4分 ）
（1）计算： ； （2）解不等式组：
17．（本小题满分6分）
空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．
某市2013年每月空气质量良好以上天数统计图 某市2013年每月空气质量良好以上天数分布统计图
根据以上信息解答下列问题：
（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是_____天，众数是_____天；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．
18．（本小题满分6分）
某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客
更合算？
19．（本小题满分6分）
甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m)与甲跑步的时间x (s)之间的函数关系，其中l1的关系式为y1＝8x，问甲追上乙用了多长时间？
20．（本小题满分8分）
如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31° ≈ ，sin31° ≈ ，tan39° ≈ ，sin39° ≈ ）
21．（本小题满分8分）
已知：如图，□ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B ∠AEB °时，
四边形ACED是正方形？请说明理由．
22．（本小题满分10分）
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件， 而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与 销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
23．（本小题满分10分）
数学问题：计算 （其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和
为 ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： ＝ ．
探究二：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和
为 ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： ＝ ，
两边同除以2， 得 ＝ ．
探究三：计算 ．
（ 仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算 ．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式： ，
所以， ＝ ．
拓广应用：计算 ．
24．（本小题满分12分）
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
青岛市二○一四年初中学生学业考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评 分细则．
2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有 较严重的错误，就不给分．
3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．
4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这 一步应得的累加分数．
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D A C C D A B
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分 ）
9． 10．乙
11．（1，0） 12．35
13． 14．54
三、作图题（本题满分4分）
15．正确作图； 3分
正确写出结论． 4分
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（本小题满分8分）
（1）解：原式＝
＝
＝ ． 4分
（2）
解：解不等式①，得
x＞ ．
解不等式②，得
x＜3．
所以，原不等式组的解集是 ＜x＜3． 4分
17. （本小题满分6分）
解：（1）14，13． 2分
（2）360°× ＝60°，
答：扇形A的圆心角的度数是60°． 4分
（3）合理 即可． 6分
18. （本小题满分6分）
解：（1）P（转动一次转盘获得购物券）＝ ＝ ． 2分
（2） （元）
∵40元＞30元，
∴选择转转盘对顾客更合算． 6分
19. （本小题满分6分）
解：设y2＝kx＋b（k≠0），
根据题意，可得方程组
解这个方程 组，得
所以y2＝6x＋10．
当y1＝y2时，8x＝6x＋10，
解这个方程，得x＝5．
答：甲追上乙用了5s． 6分
20. （本小题满分8分）
解：（1）过点A作AD⊥BE于D，
设山AD的高度为x m，
在Rt△ABD中,∠ADB＝90°，
tan31°＝ ，
∴ ．
在Rt△ACD中,∠ADC＝90°，
tan39°＝ ，
∴ ．
∵
∴ ，
解这个方程，得 .
即山的高度为180米. 6分
（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，
sin39°＝ ，
∴ （米）．
答：索道AC长约为282.9米. ． 8分
21. （本小题满分8分）
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．
又∵OC＝OD，
∴△AOD≌△EOC．
4分
（2）当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形.
∵△AOD≌△EOC，
∴OA＝OE．
又∵OC＝OD，
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B＝∠AEB＝ 45°，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠COE＝∠BAE＝90°．
∴□ACED是菱形．
∵AB＝AE，AB＝CD，
∴AE＝CD．
∴菱形ACED是正方形. 8分
22. （本小题满分10分）
解：（1）y＝（x－50）[50＋5（100－x）]
＝（x－50）（－5x＋550）
＝－5x2＋800x－27500
∴y＝－5x2＋800x－27500． 4分
（2）y＝－5x2＋800x－27500
＝－5(x－80)2＋4500
∵a＝－5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500． 6分
（3）当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，
解这个方程，得x1＝70，x2＝90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润 不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（－5x＋550）≤7000，
解这个不等式，得x≥82．∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间. 10分
23．（本小题满分10分）
探究三：
第1 次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面 积之和
为 ，最后的空白部分的面积是 ，
根据第n次分割 图可得等式： ＝ ，
两边 同除以3， 得 ＝ ．
4分
解决问题：
＝ ，
．
8分
拓广应用：
原式
10分
24．（本小题满分12分）
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC= AC＝6，OB＝OD= BD＝8．
在Rt△AOB中，AB＝ ＝10．
∵EF ⊥BD，
∴∠FQD＝∠COD＝90°．
又∵∠FDQ ＝∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴ ＝ ．
即 ＝ ，
∴DF＝ t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF．
即10－t＝ t，
解这个方程，得 t＝ ．
答：当t＝ s时，四边形APFD是平行四边形． 4分
（2）过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD＝AB•CG＝ AC•BD，
即10•CG＝ ×12×16，
∴CG＝ ．
∴S梯形APFD＝ （AP＋DF）•CG
＝ （10－t＋ t）• ＝ t＋48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴ ＝ ．
即 ＝ ，
∴QF＝ t．
同理，EQ＝ t．
∴EF＝QF＋EQ＝ t．
∴S△EFD＝ EF•QD＝ × t×t＝ t2．
∴y＝（ t＋48）－ t2＝－ t2＋ t＋48． 8分
（3）若S四边形APFE∶S菱形A BCD＝17∶40，
则－ t2＋ t＋48＝ ×96，
即5t2－8t－48＝0，
解这个方程，得t1＝4，t2＝－ （舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t＝4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ．
∴PN＝ ，BN＝ ．
∴EM＝EQ－MQ＝ ＝ ．
PM＝BD－BN－DQ＝ ＝ ．
在Rt△PME中，
PE＝ ＝ ＝ (cm)． 12分
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