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2015年株洲市中考学业考试试题
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，共24分）
1、2的相反数是
A、 B、2 C D、
【试题分析】
本题知识点：相反数的意义，可以从代数意义与几何意义上理解。
答案为A
2、已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于
A、35° B、55° C、65° D、145°
【试题分析】
本题考点为互余两个角的性质理解：互余的两个角和为90°，从而解得。
答案为：B
3、下列等式中，正确的是
A、 B、 C、 D、
【试题分析】
本题考点为：简单的整式的运算：A、 同类项的合并，系数合并，字母与指数不变；B、 是同底数幂相乘，底数不变，指数相加；C、 是积的乘方的运用，同时要注意符号的确定；D、 是整式乘法公式的运用
答案为：B
4、下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A、等腰三角形 B、正三角形 C、平行四边形 D、正方形
【试题分析】
本题考点为 ：轴对称图形与中心对称图形的理解
答案为：D
5、从2，3,4，5中任意选两个数，记作 和 ，那么点（ ， ）在函数 图象上的概率是
A、 B、 C、 D、
【试题分析】
本题有 两个：一、2,3，4,5从中选出一组数的所有可能性，注意任选两个，是指不能重复；二、反比例函数经过的点的理解；
答案为：D
6、如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是
A、22° B、26° C、32° D、68°
【试题分析】
本题考点为：通过圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形AOC求出∠OBC的度数
答案为：A
7、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是
A、 B、 C、 D、
【试题分析】
本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用AB∥EF∥CD得到△ABE∽ △DCE，得到 ，△BEF∽△BCD得到 ，故可知答案
答案为：C
8、有两个一元二次方程：M： N： ，其中 ，以下列四个结论中，错误的是
A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
C、如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是
【试题分析】
本题是关于二元一次方程的判别式，及根与系数的关系：
A、∵M有两个不相等的实数根
∴△＞0
即
而此时N的判别式△＝ ，故它也有两个不相等的实数根；
B、M的两根符号相同：即 ，而N的两根之积＝ ＞0也大于0，故N的两个根也是同号的。
C、如果5是M的一个根，则有： ①，我们只需要考虑将 代入N方程看是否成立，代入得： ②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立。
D、比较方程M与N可得：
故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1
答案为：D
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9、如果手机通话每分钟收费 元，那么通话 分钟，收费 元。
【试题分析】
本题考点是：列代数式，根据公式：收费＝单价×时间
答案为：
10、在平面直角坐标系中，点（－3,2）关于 轴的对称点的坐标是 。
【试题分析】
本题考点是：坐标的对称问题。可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪个坐标不变，关于原点对称都变。
答案为：（3,2）
11、如图， ∥ ，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是 。
【试题分析】
本题考点为：平行线的性质，邻补角的关系，三角形的内角和。
答案为：65°
12、某大学自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算。已知孔明数学得分为95分，综合得分为93分，那么孔明物理得分是 分。
【试题分析】
本题考点为：加权平均数的运用，或者直接利用应用题来解答。
答案为：90分
13、因式分解： ＝ 。
【试题分析】
本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式 ，然后还要注意彻底分解， 仍可以利用平方差公式分解。
答案为：
14、已知直线 与 轴的交点在A（2,0），B（3,0）之间（包括A、B两点）则 的取值范围是 。
【试题分析】
本题考点为：一次函数与 轴的性质，方程，不等式的综合考点
而 的取值范围为：
即
从而解出 的取值范围
答案为：
15、如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那 么AH等于
【试题分析】
本题考点为：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等；
由全等可知：AH＝DE，AE＝AH＋HE
由直角三角形可得： ，代入可得
答案为：6
16、“皮克定理”是来 计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 ，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积， 和 中有一个表示多边形那 边上（含原点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是 还是 表示多边形内部的整点的个数，请你选 择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是 ；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是
【试题分析】
本题考点：找到规律，求出 表示的意义；
由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为8，里面的点为1；由公式 可知， 为偶数，故 ， ，即 为边上整点的个数， 为形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证： ， ，代入公式 ＝6；利用长×宽也可以算出＝6，验证正确。
利用数出公式中的 ，代入公式求得S＝17.5
答案为：17.5
三、解答题（要求写出必要的解答步骤，本大题共8小题，共52分）
17、（本题满分4分）计算：
【试题分析】
本题考点为：简单的计算，包含绝对值的计算，零指数次幂，特殊角的三角函数值
解：原式＝3＋1－1
＝3
18、（本题满分4分）先化简，再求值： ，其中
【试题分析】
本题考点为：分式的混合运算，化简后求值
19、（本题满分6分）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
【试题分析】
本题考点为：一元一次不等式的应用题：
由已知可知，乒乓球共买20个，单价为1.5元每个，而球拍为每个22元，总金额不超过200元，即乒乓球的金额＋球拍的金额≤200①
涉及的公式为：金额＝单价×数量
金额 单价 数量
乒乓球 1.5×20＝30 1.5 20
球拍
22
将相关数据代入①即可解得：
解：设购买球拍 个，依题意得：
解之得：
由于 取整数，故 的最大值为7。
答：略
20、（本题满分6分）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试 的学生中随机抽取10名学生的成绩，制作出如下统计表和条形统计图：
编号 成绩 等级 编号 成绩 等级
① 95 A ⑥ 76 B
② 78 B ⑦ 85 A
③ 72 C ⑧ 82 B
④ 79 B ⑨ 77 B
⑤ 92 A ⑩ 69 C
请回答下列问题：
（1）孔明同学这次测试的成绩是87分，则他的成绩等级是 ;
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有60名学生成绩是A等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少？
【试题分析】
本题考点：数据分析与统计
（1）从表格中找到A的最低分为85分，故易知孔明的成绩为A
（2）易知：C等的人数为10－3－5＝2
（3）这是由抽样来衡量整体的方法：10个中A有3个，所以A的比例为
总人数为：
21、（本题满分6分）P表示 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与 的关系式是：
(其中， 是常数， )
（1）填空：通过画图可得：
四边形时，P＝ (填数字)，五边形时，，P＝ (填数字)
（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求 的值
（注：本题的多边形均指凸多边形）
【试题分析】
本题考点：待定系数法求出 ，二元一次方程组
（1）由画图可得，当 时，
当 时，
（2）将上述值代入公式可得：
化简得：
解之得：
22、（本题满分8分）如图，在 ABC中，∠C＝90º，BD是 ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
【试题分析】
（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”
（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长
（1）过点O作ON⊥AB于点M
∵正方形OECF
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E
∴OM＝OE＝OF
∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E
∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°
∵
∴Rt△AMO≌Rt△AFO
∴∠MA0＝∠FAO
∴点O在∠BAC的平分线上
（2）方法一：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12
∴AB＝13
易证：BE＝BM，AM＝AF
又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE
故：BE＝12－OE，AF＝5－OE
显然：BM＋AM＝AB
即：BE＋AF＝13
12－OE＋5－OE＝13
解得OE＝2
方法二
利用面积法：
S△ABC＝
S△ABC＝
从而解得。
23、（本题满分8分）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB=30°,动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q，
（1）当点P，运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长。
（2）点运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为 ?（ 直接写出答案）
（3） 当使△CQD的面积为 ，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ＞QD时（如图2），求AP的长。
【试题分析】
（1）本小问是利用切线的性质，得到∠ACP＝90°，CD＝2，得到半径的长度：OD＝OC＝OB
从而利用解直角三角形的方法来解得AP的长度。
解：∵AB是圆O的切线
∴∠OBA＝90°
∵ ABC中，CD＝2，∠DAB=30°
∴OB＝1
∴OB＝OC＝AC＝1
∵当点P，运动到Q、C两点重合时
∴PC为圆O的切线
∴∠PCA＝90°
∵∠DAB =30°，AC＝1
∴AP＝
（2）利用三角形的面积公式，知底和积可求高，然后用平行线去截圆，即可以得到解。
由于CD的长度2，而S△CQD＝ ，故CD上的高的长度为： ，从而如图，我们可得到答案：
（3）利用S△CQD＝ ，求出CD上的高QN的长度，过点PM⊥AD于点M，
然后利用相似△QCN∽△DQN求出CN的长度，再次利用相似△PMC∽△QNC，从而得到MC与MP的关系，由 已知易知AM＝ ，由AC＝1，从而可以解出MP，从而求出AP的长度。
解答如下：
过点Q作QN⊥AD于点N，
过点P作PM⊥AD于点M
∵S△CQD＝
∴ QN×CD＝
∴CD＝
∵CD是圆O的直径
∴∠CQD＝90°
易证△QCN∽△DQN
∴
∴
设CN＝X，则DN＝2－X
∴
解得：
∵CQ＞QD
∴CN＝
∴
易证：△PMC∽△QNC
易得：
∴
在 AMP中易得：
∵AM＋CM＝AC＝1
∴ ＋ ＝1
∴MP＝
∴AP＝2MP＝
24、（本题满分10分）已知抛物线的表达式为
（1）若抛物线与 轴有交点，求 的取值范围；
（2）设抛物线与 轴两个交点的横坐标分别为 、 ，若 ，求 的值；
（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于 轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：
【试题分析】
（1）利用二次函数与一元二次方程的关系，
直接用判别式解答。
∵ 与 轴有交点
∴ 有实数根
∴△＝
即：
解之得：
（2）根据根与系数的关系，求出
∵ 有解，且
∴ ，
即：
解之得：
（3）由全等得到 P、Q两点的坐标特点，然后利用过度参数，比较两个式子
来描述坐标方程，方程有解。
易知：
设P的坐标为 ，则Q点坐标为 ，且 ，
将这两个点的坐标代入方程得：
（1）－（2）得：
故可得：
故可得
代入方程（2）得：
因为存在这样的点，所以上方程有解，所以判别式
即
故：
而当 时， ，此时
故