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浙江省11市2015年中考
数学试题分类解析汇编（20专题）
专题19：综合型问题
1. （2015年浙江杭州3分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率为【 】
A. B. C. D.
【答案】B.
【考点】概率；正六边形的性质.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，
如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长度为 ：AC、AE、BD、BF、CE、DF，
∴所求概率为 .
故选B.
2. （2015年浙江嘉兴4分） 如图，抛物线 交 轴于点A（ ，0）和B（ ， 0），交 轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个命题：①当 时， ；②若 ，则 ；③抛物线上有两点P（ ， ）和Q（ ， ），若 ，且 ，则 ；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在 轴和 轴上，当 时，四边形EDFG周长的最小值为 . 其中真命题的序号是【 】
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C.
【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.
【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：
①从图象可知当 时， ，故命题“当 时， ”不是真命题；
②∵抛物线 的对称轴为 ，点A和B关于轴对称，∴若 ，则 ，故命题“若 ，则 ”不是真命题；
③∵故抛物线上两点P（ ， ）和Q（ ， ）有 ，且 ，∴ ，又∵抛物线 的对称轴为 ，∴ ，故命题“抛物线上有两点P（ ， ）和Q（ ， ），若 ，且 ，则 ” 是真命题；
④如答图，作点E关于 轴的对称点M，作点D关于 轴的对称点N，连接MN，ME和ND的延长线交于点P，则MN与 轴和 轴的交点G，F即为使四边形EDFG周长最小的点.
∵ ，
∴ 的顶点D的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）.
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，∴点E的坐标为（2，3）.
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，点P的坐标为（2，4）.
∴ .
∴当 时，四边形EDFG周长的最小值为 .
故命题“点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在 轴和 轴上，当 时，四边形EDFG周长的最小值为 ” 不是真命题.
综上所述，真命题的序号是③.
故选C.
3. （2015年浙江宁波4分）二次函数 的图象在2< <3这一段位于 轴的下方，在6< <7这一段位于 轴的上方，则 的值为【 】
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
【答案】A.
【考点】二次函数的性质；解一元一次不等式组；特殊元素法的应用.
【分析】∵二次函数 的图象在2< <3这一段位于 轴的下方，在6< <7这一段位于 轴的上方，
∴当 时，二次函数 的图象位于 轴的下方；当 时，二次函数 的图象位于 轴的上方.
∴ .
∴ 的值为1.
故选A.
4. （2015年浙江衢州3分）如图，已知等腰 ，以 为直径的圆交 于点 ，过点 的 的切线交 于点 ，若 ，则 的半径是【 】
A. B. C. D.
【答案】D．
【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用．
【分析】如答图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .∴ .∴ .
∵ 是 的切线，∴ .∴ .
∴ ，且四边形 是矩形.
∵ ，∴由勾股定理，得 .
设 的半径是 ，
则 .
∴由勾股定理，得 ，即 ，解得 .
∴ 的半径是 .
故选D．
5. （2015年浙江温州4分）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限. 若反比例函数 的图象经过点B，则 的值是【 】
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C.
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；等边三角形的性质；勾股定理.
【分析】如答图，过点B作BD⊥ 于点D，
∵点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，
∴OB=OA=2，OD=1.∴由勾股定理得，BD= .
∵点B在第一象限，∴点B的坐标是 .
∵反比例函数 的图象经过点B，∴ .
故选C.
6. （2015年浙江温州4分）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG， 的中点分别是M，N，P，Q. 若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是【 】
A. B. C. 13 D. 16
【答案】C.
【考点】正方形的性质；垂径定理；梯形的中位线定理；方程思想、转换思想和整体思想的应用.
【分析】如答图，连接OP、OQ，
∵DE，FG， 的中点分别是M，N，P，Q，
∴点O、P、M三点共线，点O、Q、N三点共线.
∵ACDE，BCFG是正方形，
∴AE=CD=AC，BG=CF=BC.
设AB= ，则 .
∵点O、M分别是AB、ED的中点，
∴OM是梯形ABDE的中位线.
∴ ，即 .
同理，得 .
两式相加，得
.∵MP+NQ=14，AC+BC=18，∴ .
故选C.
7. （2015年浙江舟山3分） 如图，抛物线 交 轴于点A（ ，0）和B（ ， 0），交 轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个命题：①当 时， ；②若 ，则 ；③抛物线上有两点P（ ， ）和Q（ ， ），若 ，且 ，则 ；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在 轴和 轴上，当 时，四边形EDFG周长的最小值为 . 其中真命题的序号是【 】
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C.
【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题）；勾股定理.
【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：
①从图象可知当 时， ，故命题“当 时， ”不是真命题；
②∵抛物线 的对称轴为 ，点A和B关于轴对称，∴若 ，则 ，故命题“若 ，则 ”不是真命题；
③∵故抛物线上两点P（ ， ）和Q（ ， ）有 ，且 ，∴ ，又∵抛物线 的对称轴为 ，∴ ，故命题“抛物线上有两点P（ ， ）和Q（ ， ），若 ，且 ，则 ” 是真命题；
④如答图，作点E关于 轴的对称点M，作点D关于 轴的对称点N，连接MN，ME和ND的延长线交于点P，则MN与 轴和 轴的交点G，F即为使四边形EDFG周长最小的点.
∵ ，
∴ 的顶点D的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）.
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，∴点E的坐标为（2，3）.
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，点P的坐标为（2，4）.
∴ .
∴当 时，四边形EDFG周长的最小值为 .
故命题“点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在 轴和 轴上，当 时，四边形EDFG周长的最小值为 ” 不是真命题.
综上所述，真命题的序号是③.
故选C.
1. （2015年浙江杭州4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数 的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，若反比例函数 的图象经过点Q，则 = ▲
【答案】 或
【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用.
【分析】∵点P(1，t)在反比例函数 的图象上，∴ .∴P(1，2).
∴OP= .
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，
∴Q 或Q .
∵反比例函数 的图象经过点Q，
∴当Q 时， ；Q 时， .
2. （2015年浙江湖州4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推⋯，若A1C1=2，且点A，D2， D3，⋯，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是 ▲
【答案】 .
【考点】探索规律题（图形的变化）；正方形的性质；相似三角形的判定和性质.
【分析】如答图，设AD10与A1C1相交于点E，
则 ，∴ .
设 ，
∵AD1=1，A1C1=2，∴ .
∴ .
易得 ，∴ .
设 ，则 ，∴ 即 .
同理可得，
∴正方形A9C9C10D10的边长是 .
3. （2015年浙江嘉兴5分）如图，在直角坐标系 中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1. 点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交 轴于点N（ ，0）. 设点M转过的路程为 （ ）.
（1）当 时， = ▲ ；
（2）随着点M的转动，当 从 变化到 时，点N相应移动的路径长为 ▲
【答案】（1） ；（2） .
【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质.
【分析】（1）当 时， ，∴ .
∵A（0，1），∴ .∴ .
（2）∵以AP为半径的⊙P周长为1，
∴当 从 变化到 时，点M转动的圆心角为120°，即圆周角为60°.
∴根据对称性，当点M转动的圆心角为120°时，点N相应移动的路径起点和终点关于 轴对称.
∴此时构成等边三角形，且 .
∵点A（0，1），即OA=1，∴ .
∴当 从 变化到 时，点N相应移动的路径长为 .
4. （2015年浙江金华4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在 轴正半轴上，反比例函数 的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是 ▲
【答案】 .
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性质；中点坐标；方程思想的应用.
【分析】∵菱形OBCD的边OB在 轴正半轴上，点D的坐标为（6，8），
∴ .∴点B的坐标为（10，0），点C的坐标为（16，8）.
∵菱形的对角线的交点为点A，∴点A的坐标为（8，4）.
∵反比例函数 的图象经过点A，∴ .
∴反比例函数为 .
设直线 的解析式为 ，∴ .
∴直线 的解析式为 .
联立 .
∴点F的坐标是 .
5. （2015年浙江丽水4分）如图，反比例函数 的图象经过点（-1， ），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与 轴交于点P，连结BP.
（1） 的值为 ▲ .
（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ▲ .
【答案】（1） ；（2）（2， ）.
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.
【分析】（1）∵反比例函数 的图象经过点（-1， ），
∴ .
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，过B点作BN⊥ 轴于点N，
设 ，则 .
∴ .
∵△ABC是等腰直角三角形，∴ ，∠BAC=45°.
∵BP平分∠ABC，∴ .∴ .
∴ .∴ .
又∵ ，∴ .
易证 ，∴ .
由 得， ，
解得 .
∴ ， .
如答图2，过点C作EF⊥ 轴，过点A作AF⊥EF于点F，过B点作BE⊥EF于点E，
易知， ，∴设 .
又∵ ，
∴根据勾股定理，得 ，即 .
∴ ，解得 或 （舍去）.
∴由 ， 可得 .
6. （2015年浙江绍兴5分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（ ， ）.如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则 的取值范围是
▲
【答案】 .
【考点】反比例函数的性质；正方形的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.
【分析】根据题意，当点A在曲线 上时， 取得最大值；当点C在曲线 上时， 取得最小值.
当点A在曲线 上时， （舍去负值）.
当点C在曲线 上时，易得C点的坐标为 ，
∴ （舍去负值）.
∴若曲线 与正方形的边有ABCD交点， 的取值范围是 .
7. （2015年浙江义乌4分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（ ， ）.如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则 的取值范围是
▲
【答案】 .
【考点】反比例函数的性质；正方形的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.
【分析】根据题意，当点A在曲线 上时， 取得最大值；当点C在曲线 上时， 取得最小值.
当点A在曲线 上时， （舍去负值）.
当点C在曲线 上时，易得C点的坐标为 ，
∴ （舍去负值）.
∴若曲线 与正方形的边有ABCD交点， 的取值范围是 .
8. （2015年浙江舟山4分）如图，在直角坐标系 中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1. 点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交 轴于点N（ ，0）. 设点M转过的路程为 （ ）. 随着点M的转动，当 从 变化到 时，点N相应移动的路径长为 ▲
【答案】 .
【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质.
【分析】∵以AP为半径的⊙P周长为1，
∴当 从 变化到 时，点M转动的圆心角为120°，即圆周角为60°.
∴根据对称性，当点M转动的圆心角为120°时，点N相应移动的路径起点和终点关于 轴对称.
∴此时构成等边三角形，且 .
∵点A（0，1），即OA=1，∴ .
∴当 从 变化到 时，点N相应移动的路径长为 .
1. （2015年浙江杭州12分）方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题：
（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当20<y<30时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；
（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过 h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇.
【答案】解：（1）设线段BC所在直线的函数表达式为 ，
∵ ，∴ ，解得 .
∴线段BC所在直线的函数表达式为 .
设线段CD所在直线的函数表达式为 ，
∵ ，∴ ，解得 .
∴线段BC所在直线的函数表达式为 .
（2）∵线段OA所在直线的函数表达式为 ，∴点A的纵坐标为20.
当 时，即 或 ，
解得 或 .
∴当 时， t的取值范围为 或 .
（3） ， .所画图形如答图：
（4）当 0时， ，
∴丙距M地的路程 与时间 的函数关系式为 .
联立 ，解得 与 图象交点的横坐标为 ，
∴丙出发后 与甲相遇.
【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.
【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC，CD所在直线的函数表达式.
（2）求出点A的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可.
（3）求函数表达式画图即可.
（4）求出 与时间 的函数关系式，与 联立求解.
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