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准考证号 姓名
(在此卷上答题无效)
机密★2015年6月19日
江西省2015年中等学校招生考试
数学试题卷
说明：1．本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)
1．计算(－1)°的结果为( )
A．1 B．－1 C．0 D．无意义
2．2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数300 000用科学计数法表示为( )
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体的左视图为( )
4．下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
5．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( )
A．只能是x＝－1
B．可能是y轴
C．在y轴右侧且在直线x＝2的左侧
D．在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
7．一个角的度数为20°，则它的补角的度数为 ．
8．不等式组 的解集是 ．
9．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB．则图中有 对全等三角形．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为 ．
11．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ．
12．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 ．
13．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为 cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766．计算结果精确到0.1cm，可用科学计算器)．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
15．先化简，再求值： ，其中 ， ．
16．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)如图1，AC＝BC；
(2)如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．
18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值
(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等于 ，求m的值．
四、(本大题共4小题，每小题8分，共32分)
19．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生的家长1份，每份问卷仅表明一种态度．将回收的问卷进行整理(假设回收的问卷都有效)，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
学生家长对孩子使用手机的态度情况统计图
根据以上信息回答下列问题：
(1)回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？
20．(1)如图1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE的位置，拼成四边形AEED，则四边形AEED的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEED中，在EE上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DEF的位置，拼成四边形AFFD．
①求证：四边形AFFD是菱形；
②求四边形AFFD的两条对角线的长．
21．如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线 交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直线AB与x轴交于点P(x0，0)，与y轴交于点C．
(1)若A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)．求点P的坐标；
(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标；
(3)结合(1)，(2)中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系(不要求证明)．
22．甲、乙两人在100米直道AB上练习匀速往返跑，若甲、乙分别在A，B两端同时出发，分别到另一端点掉头，掉头时间不计，速度分别为5m/s和4m/s．
(1)在坐标系中，虚线表示乙离A端的距离s(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数图象(0≤t≤200)，请在同一坐标系中用实线画出甲离A端的距离s与运动时间t之间的函数图象(0≤t≤200)；
(2)根据(1)中所画图象，完成下列表格：
两人相遇次数
(单位：次) 1 2 3 4 … n
两人所跑路程之和(单位：m) 100 300 …
(3)①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m内，s与t的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
②求甲、乙第6此相遇时t的值．
五、(本大题共10分)
23．如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)和二次函数L2：y＝－a(x＋1)2＋1(a>0)图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
(1)函数y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)的最小值为 ；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ；
(2)当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状(直接写出，不必证明)；
(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m，0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程
－a(x＋1)2＋1＝0的解．
六、(本大题共12分)
24．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝ 时，a＝ ，b＝ ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ；
归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝ ，AB＝3．求AF的长．
2015年江西省中考数学解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)
1.解析：选A. ∵除0外，任何数的0次方等于1. ∴选A.
2.解析：选B. ∵科学记数法是：把一个数写成“ ,其中1≤ ＜10”. ∴选B.
3.解析：选D. ∵ . ∴选D.
4.解析：选C. ∵根据光的正投影可知，几何体的左视图是图C. ∴选C.
5.解析：选C. ∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形 ,底长不变，高变小，所以面积变小. ∴选C.
6.解析：选D. ∵抛物线 过（-2,0），（2,3）两点，∴ ，解得 ，∴对称轴 ，又对称轴在（-2,2）之间， ∴选D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)
7.解析：∵两角互补，和为180°，∴它的补角=180°-20°=160°.
8.解析: 由 ≤0得x≤2 ,由-3x＜9得x＞-3，∴不等式组的解集是-3＜x≤2.
9.解析：∵∠POE=∠POF, ∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS),
又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS), ∴PA=PB,∵PE=PF,
∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL). ∴图中共有3对全的三角形.
10.解析：∵∠A=50°, ∴∠BOC=100°, ∴∠BOD=80°, ∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+ 80°=110°
11.解析：由一元二次方程根与系数关系得m+n=4,mn=﹣3，又
∴原式= .
12.解析：由题意得 ，解得 ，∴这组新数据是3,4,5,6,8,8,8,其中位数是6.
13.解析：如右图，作BE⊥CD于点E.
∵BC=BD, BE⊥CD, ∴∠CBE=∠DBE=20°,
在Rt△BCD中， ∴ ，
∴BE≈15×0.940=14.1
14.解析：如图，分三种情况讨论：
图（1）中，∠APB=90°，
∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°, ∴△APO是等边三角形，
∴AP=2；
图（2）中，∠APB=90°，
∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°,
在Rt△ABP中，AP=cos30°×4= .
图（3）中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°,
∴PB= , ∴AP=
∴AP的长为2， 或
三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
15.解析：原式
把 代入得，原式=
16.解析：(1) ∵正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，
∴A,A1 是对应点，∴AA1 的中点是对称中心，
∵A(0,4)，D(2,0)，∴AD=2, ∴A1D1 = AD=2,
又∵D1(0,3) ，∴A1(0,1)，
∴对称中心的坐标为（0, 2.5）；
（2）∵正方形的边长为2， 点A,D1 ,D ,A1在y轴上，
∴B(-2,4), C(-2,2), B1(2,1)， C1(2,3) .
17.解析：如右图所示.
图1，∵AC=BC,∴ ,
∴点C是 的中点，连接CO，
交AB于点E，由垂径定理知，
点E是AB的中点，
延长CE交⊙O于点D，
则CD为所求作的弦；
图2，∵l切⊙O于点P, 作射线PO，交BC于点E，则PO⊥l, ∵l∥BC , ∴PO⊥BC, 由垂径定理知，点E是BC的中点，连接AE交⊙O于F，则AF为所求作的弦.
18. 解析：(1)若事件A为必然事件，则袋中应全为黑球，∴m=4, 若事件A为随机事件，则袋中有红球，
∵m>1 ，∴m=2或3.
事件A 必然事件 随机事件
m的值 4 2、3
（2） ， ∴m=2 .
四、(本大题共4小题，每小题8分，共32分)
19.解析：(1) 30÷25%=120 10÷120×360°=30° ∴回收的问卷数为120份，圆心角的度数为30°
(2) 如下图：
(3) (30+80)÷120×1500=1375 ∴对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人.
20.解析：(1) 由平移知：AE DE′, ∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC, ∴∠AEE′=90°,
∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.
(2) ① ∵AF DF′, ∴四边形AFF′D是平行四边形，∵AE=3, EF=4 ,∠E=90°, ∴AF=5,
∵S□ABCD=AD•AE=15, ∴AD=5 , ∴AD=AF , ∴四边形AFF′D是菱形.
② 如下图， 连接AF′, DF ，
在Rt△AEF′中， AE=3, EF′=9, ∴AF′=
在Rt△DFE′中， FE′=1, DE′=AE=3, ∴DF=
∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是 和 .
21.解析：(1) 把A(1,3)代入 得： ， 把B 代入 得： ，∴B(3,1).
把A(1,3),B(3,1)分别代入 得： ，解得： ，
∴ ，令 ，得 ， ∴
(2) ∵ , ∴ 是 的中点，由中点坐标公式知： ，
∵ 两点都在双曲线上，∴ ，解得 ， ∴ .
作AD⊥ 于点D（如右图）, 则△ ∽△ ，
∴ ，即 ， 又 ，
∴ ，∴ .
∴
(3) 结论： .
理由如下：∵A( ),B( )，∴ ， ∴
令 ，得 ，∵ ， ∴
= ， 即
22.解析：（1）如下图：
（2）填表如下：
两人相遇次数
（单位：次） 1 2 3 4 … n
两人所跑路程之和
(单位：m) 100 300 500 700 … 100（2n-1）
(3) ① (0≤t≤20) , (0≤t≤25).
② , ∴ , ∴第六次相遇t的值是 .
五、(本大题共10分)
23.解析：（1）∵ ， ∴ ；
∵ ，∴当 时，L1的 值随着 的增大而减小，当 时， L2 的 值随着 的增大而减小， ∴ 的取值范围是
（2）∵ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
如图，∵ ， ∴ ，
∴ ，∴
∵ ，∴
∴ ， ∴
∴四边形 是平行四边形，
已知 ，
∴四边形 是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）
（3）∵ ， ，
∴
① 当 时，有 ，∴ ，等式不成立；
② 当 时，有 ∴ ；
③ 当 时，有 ，∴
∴ 或 ， ∵ 的对称轴为 ，
∴左交点坐标分别是（-4,0）或（ ，0），
∴方程 的解为 .
六、(本大题共12分）
24. 解析：（1）如图1，连接EF,则EF是△ABC的中位线，
∴EF= = ,
∵∠ABE=45°,AE⊥EF ∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2 ，EP=FP=1, ∴AE=BF= ,
∴ .
如图2，连接EF,则EF是△ABC的中位线.
∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4,
∴AP=2, BP= ,
∵EF , ∴PE= ,PF=1,
∴AE= , BF=
∴ , .
(2)
如图3，连接EF， 设AP=m ,BP=n.,则
∵EF , ∴PE= BP= n , PF= AP= m,
∴ , ,
∴ ,
∴
（3）
如上图，延长EG,BC交于点Q, 延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB，PQ于点M,N,连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC, AB CD,
∵E,G是分别是AD,CD的中点，∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE= , DG=AM=1.5，∴BM=4.5.
∵ ，∴ ，∴BP=9, ∴M是BP的中点；
∵AD FQ, ∴四边形ADQF是平行四边形，∴AF∥PQ,
∵E,F分别是AD，BC的中点，∴AE BF, ∴四边形ABFE是平行四边形，∴OA=OF,
由AF∥PQ得：
, ∴ , ∴PN=QN, ∴N是PQ的中点；
∴△BQP是“中垂三角形”， ∴ ,
∴ , ∴