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2014人教版九年级数学上册第22章《二 次函数》单元测试及答案 (1)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2013•兰州中考）二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（ 1，3） C.（1， 3） D.（ 1， 3）
2.（2013•哈尔滨中考）把抛物线 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.（2013•吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为 ,则下列结论正确的是（ ）
A. B. ＜0, ＞0
C. ＜0, ＜0 D. ＞0, ＜0
4.（2013•河南中考）在二次函数 的图象上，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A. 1 B. 1 C. -1 D. -1
5.二次函数 无论 取何值，其图象的顶点都在( )
A.直线 上 B.直线 上
C.x轴上 D.y轴上
6. 抛物线 轴交点的纵坐标为（ ）
A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1
7.已知二次函数 ，当 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当 取 时，函数值为（ ）
A. B. C. D.c
8.已知二次函数 ，当 取任意实数时，都有 ， 则 的取值范围是（ ）
A． ． C． D．
9.如图所示是二次函数 图象的一部分，图象过点 二次函数图象的对称轴为 给出四个结论：① ② ③ ④ ，
其中正确的结论是( )
A.②④ B.①③ C.②③ D.①④
10.已知二次函数 的图象如图所示,其对称轴为直线 ，给出下列结论:(1) ；(2) ＞0；(3) ；(4) ；(5) .
则正确的结论是（ ）
A.(1)(2)(3) (4) B.(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4) D.(1) (4)(5)
二、填空 题（每小题3分，共24分）
11.（2013• 成都中考）在平面直角坐标系 中，直线 为常数）与抛物线 交于 两点，且 点在 轴 左侧， 点 的坐标为（0,－4），连接 , .有以下说法：
① ；②当 时， 的值随 的增大而增大；③当 － 时， ；④△ 面积的最小值为4 ，其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
12.把 抛物线 的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是 则 .
13.已知抛物线 的顶点为 则 , .
14.如果函数 是二次函数，那么k的值一定是 .
15.将二次函数 化为 的形式，则 ．
16.二次函数 的图象是由函数 的图象先向 （左、右）平移
个单位长度，再向 （上、下）平移 个单位长度得到的.
17.如图，已知抛物线 经过点（0,－3）,请你确定一个 的值 ，使该抛物线与 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的 的值是 ．
18.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式 = .
三 、解答题（共46分）
19.（6分）已知抛物线的顶点为 ,与y轴的交点为 求抛物线的解析式.
20.（6分）已知抛物线的解析式为
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，求m的值.
21.（8分）（2013•哈尔滨中考）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为 （单位：米），现以 所在直线为 轴，以抛物线的对称轴为 轴建立如图所示 的平面直角坐标系,设坐标原点为 .已知 米，设抛物线解析式为 .
第21题图
（1）求 的值；
（2）点 （-1， ）是抛物线上一点，点 关于原点 的对称点为点 ，连接 , , ，求△ 的面积.
22.（8分 ）已知：关于 的方程
(1)当 取何值时，二次函数 的对称轴是 ；
(2)求证： 取任何实数时，方程 总有实数根.
23.（8分）已知抛物线 与 轴有两个不同的交点．
(1)求 的取值范围；
(2)抛物线 与 轴的两交点间的距离为2，求 的值.
24.（10分）心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力 与提出概念所用的时间 (单位：分钟)之间满足函数关系式 的值越大,表示接受能力越强.
(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力 的值是多少 ?
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.
参考答案
1.A 解析：因为 的图象的顶点坐标为 ,所以 的图象的顶点坐标为（1，3）.
2.D 解析：把抛物线 向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 .
点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.
3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为 ,∴ 这条抛物线的顶点坐标为 .观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，∴ .
4.A 解析：把 配方，得 .∵ -1 0,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线 ,∴ 当 1时， 随 的增大而增大.
5. B 解析：顶点为 当 时， 故图象顶点在直线 上.
6.C 解析：令 ，得
7.D 解析：由题意可知 所以 所以当
8.B 解析：因为当 取任意实数时，都有 ,又二次函数的图 象开口向上，所以图象与 轴没有交点，所以
9.B 解 析:由图象可知 .当 时， 因此只有①③正确.
10. D 解析：因为二次函数与 轴有两个交点，所以 .（1）正确.抛物线开口向 上，所以 0.抛物线与 轴交点在 轴负半轴上，所以 .又 , （2）错误.(3)错误.由图象可知当 所以（4）正确.由图象可知当 ,所以（5）正确.
11.③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.
设 点A的坐标为（ , ）,点B的坐标 为（ ）.
不妨设 ,解 方程组 得 ∴ ( ,- ）,B（3,1）.
此时 , ,∴ .而 =16,∴ ≠ ,∴ 结论①错误.
当 = 时， 求出A(-1,- ),B（6,10）,
此时 ( )(2 )=16.
由① 时， ( )( )=16.
比较两个结果发现 的值相等.∴ 结论②错误.
当 - 时，解方程组 得出A（-2 ，2）,B （ ，-1）,
求出 12, 2, 6,∴ ,即结论③正确.
把方程组 消去y得方程 ,∴ , .
∵ = •| | OP•| |= ×4×| |
=2 =2 ,
∴ 当 时， 有最小值4 ，即结论④正确.
12.11 解析：
把它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得
即 ∴
∴ ∴
13.-1 解析： 故
14. 0 解析：根据二次函数的定义，得 ，解得 .又∵ ，∴ ．∴ 当 时，这个函数是二次函数．
15. 解析：
16.左 3 下 2 解析：抛物线 是由 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.
17. （答案不唯一） 解析：由题意可知 要想抛物线与 轴的一个交点在（1,0）和（3，0）之间，只需 异号即可，所以
18. 解析：把（-1，0）和（0，-1）两点代入 中，得
， ，∴ .
由图象可知，抛物线对称轴 ，且 ，∴ ，∴ .
∴
= ,故本题答案为 ．
19.解:∵ 抛物线的顶点为 ∴ 设其解析式为 ①
将 代入①得 ∴
故所求抛物线的解析式为 即
20.(1)证明：∵
∴ ∴ 方程 有两个不相等的实数根.
∴ 抛物线 与 轴必有两个不同的交点.
(2)解:令 则 解得
21. 分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入 ，即可求出a的值；
（2）把点 代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用 求△BCD的 面积.
解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知 ,
∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a .
（2）如图所示，过点C作 于点E，过点D作 于点F.
∵ a= ,∴ -4.当 -1时，m= × -4=- ,∴ C（-1,- ）.
∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1, ）.∴ .
∴ ×4× + ×4× =15.
∴ △BCD的面积为15平方米.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.
22.(1)解：∵ 二次函数 的对称轴是 ，
∴ ,解得
经检验 是原方程的解.
故 时，二次函数 的对称轴是 .
（2）证明：①当 时，原方程变为 ，方程的解为 ；
②当 时，原方程为一元二次方程， ，
当 方程总有实数根，∴
整理得，
∵ 时, 总成立,
∴ 取任何实数时，方程 总有实数根.
23.解:（1）∵ 抛物线与 轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即 解得c ＜ .
(2)设抛物线 与 轴的两交点的横坐标为 ，
∵ 两交点间的距离为2，∴ .由题意，得 ,解得 ,
∴ ， ．
24.解:(1)当 时, .
(2)当 时, ,
∴ 用8分钟与用10分钟相比 ,学生的接受能力减弱了;
当 时, ,
∴ 用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.