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辽宁省营口市大石桥市水源二中201 5届九年级上学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． ax2+bx+c=0 B． + =2 C． x2+2x=x2﹣1 D． 3（x+1）2=2（x+1）
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． y=1﹣ x2 B． y=2（x﹣1）2+4 C． y= （x﹣1）（x+4） D． y=（x﹣2）2﹣x2
3．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A． x1=1，x2=﹣3 B． x1=4，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=3 D． x1=﹣4，x2=2
4．把二次函数y=﹣ x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A． y=﹣ （x﹣2）2+2 B． y= （x﹣2）2+4 C． y=﹣ （x+2）2+4 D． y= 2+3
5．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m等于（ ）
A． ﹣6或1 B． 1 C． ﹣6 D． 2
6．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A． 与x轴有两个交点 B． 开口向上
C． 与y轴的交点坐标是（0，3） D． 顶点坐标是（1，﹣2）
7．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（ ）
A． x2+2x﹣3=0 B． x2+2x+3=0 C． x2﹣2x﹣3=0 D． x2﹣2x+3=0
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填 空题：（每题3分，共24分）；
9．方程2x2﹣1= 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
10．若函数y=（m﹣3） 是二次函数，则m= ．
11．如果二次三项式x2﹣2（m+1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是 ．
12．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 ．
13．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m= ．
14．抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是 ．
15．已知方程x2﹣3x+1=0的两个根是x1，x2，则：x12+x22= ．
16．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ．
三、解答题（共102分）
17．解方程
①2=9（直接开平方法） ②x2+3x﹣4=0（用配方法）
③x2﹣2x﹣8=0（用因式分解法） ④（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．
18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
19．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
20．已知方程ax2+4x﹣1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？
21．抛物线y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
x取何值时，y随x的增 大而减小？
（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
22．一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？
23．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
25．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距离（m） 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8
（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
（3）某该型号汽车在国道（车速不可超过140km/h）上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m，请推测该汽车刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
26．已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．
（1）求抛物线的解析式；
若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
辽宁省营口市大石桥市水源二中2015届九年级上学期月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． ax2+bx+c=0 B． + =2 C． x2+2x=x2﹣1 D． 3（x+1）2=2（x+1）
考点： 一元二次方程的定义．
分析： 本题根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，依据定义即可解答．
解答： 解：A、缺少a≠0这一条件，若a=0，则方程就不是一元二次方程，故错误；
B、是分式方程，故错误；
C、化简后不含二次项，故错误；
D、符合一元二次方程的形式，正确．
故选D．
点评： 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． y=1﹣ x2 B． y=2（x﹣1）2+4 C． y= （x﹣1）（x+4） D． y=（x﹣2）2﹣x2
考点： 二次函数的定义．
分析： 利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答．
解答： 解：A、y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函数，正确；
B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函数，正确；
C、y= （x﹣1）（x+4）= x2+ x﹣2，是二次函数，正确；
D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函数，错误．
故选D．
点评： 本题考查二次函数的定义．
3．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ）
A． x1=1，x2=﹣3 B． x1=4，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=3 D． x1=﹣4，x2=2
考点： 解一元二次方程-公式法．
专题： 计算题．
分析： 首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．
解答： 解：（x+1）（x﹣3）=5，
x2﹣2x﹣3﹣5=0，
x2﹣2x﹣8=0，
化为（x﹣4）（x+2）=0，
∴x1=4，x2=﹣2．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．
4．把二次函数y=﹣ x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A． y=﹣ （x﹣2）2+2 B． y= （x﹣2）2+4 C． y=﹣ （x+2）2+4 D． y= 2+3
考点： 二次函数的三种形式．
专题： 配方法．
分析： 利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解答： 解：y=﹣ x2﹣x+3=﹣ （x2+4x+4）+1+3=﹣ （x+2）2+4
故选C．
点评： 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
5．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，则m等于（ ）
A． ﹣6或1 B． 1 C． ﹣6 D． 2
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 利用一元二次方程有相等的实数根，△=0，建立关于m的等式，再根据m﹣2≠0，求出m的值．
解答： 解：∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，
∴△=16m2﹣4×（m﹣2）=0，且m﹣2≠0，
∴m2+5m﹣6=0，m≠2，
∴（m+6）（m﹣1）=0，
解得：m1=﹣6，m2=1．
故选A．
点评： 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的定义．
6．对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A． 与x轴有两个交点 B． 开口向上
C． 与y轴的交点坐标是（0，3） D． 顶点坐标是（1，﹣2）
考点： 二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
专题： 计算题．
分析： 根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
解答： 解：A、∵△=22﹣4×（﹣1）×（﹣3）=﹣8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；
D、∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系．
7．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（ ）
A． x2+2x﹣3=0 B． x2+2x+3=0 C． x2﹣2x﹣3=0 D． x2﹣2x+3=0
考点： 根与系数的关系； 根的判别式．
分析： 由题意，可令方程为（x﹣3）（x+1）=0，去括号后，直接选择C；
或把3和﹣1代入各个选项中，看是否为0，用排除法选择C；
或利用两根之和等于 ，和两根之积等于 来依次判断．
解答： 解：以3和﹣1为两根的一元二次方程的两根的和是2，两根的积是﹣3，据此判断．
A、两个根的和是﹣2，故错误；
B、△=22﹣4×3=﹣8＜0，方程无解，故错误；
C、正确；
D、两根的积是3，故错误．
故选C．
点评： 本题解答方法较多，可灵活选择解题的方法．
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
分析： 令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
解答： 解：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二、填空题：（每题3分，共24分）；
9．方程2x2﹣1= 的二次项系数是 2 ，一次项系数是 ﹣ ，常数项是 ﹣1 ．
考点： 一元二次方程的一般形式．
分析： 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答： 解：方程2x2﹣1= 化成一般形式是2x2﹣ ﹣1=0，
二次项系数是2，一次项系数是﹣ ，常数项是﹣1．
点评： 要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
10．若函数y=（m﹣3） 是二次函数，则m= ﹣5 ．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义解答．
解答： 解：∵y=（m﹣3） 是二次函数，
∴ ，
解得m=﹣5．
故答案为﹣5．
点评： 本题考查了二次函数的定义，要知道，形如x +c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
11．如果二次三项式x2﹣2（m+1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是 3或﹣5 ．
考点： 完全平方式．
分析： 这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故﹣2（m+1）=±8，求解即可．
解答： 解：中间一项为加上或减去x和4积的2倍，
故﹣2（m+1）=±8，
解得m=3或﹣5，
故答案为：3或﹣5．
点评： 本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
12．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 4 ．
考点： 二次函数的性质．
分析： 已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．
解答： 解：∵y=2x2﹣bx+3，对称轴是直线x=1，
∴ =1，即﹣ =1，解得b=4．
点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（ ， ），对称轴是x= ．
13．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m= ﹣2 ．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=0代入方程式即得．
解答： 解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x 2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．
故答案为：m=﹣2．
点评： 此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
14．抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是 y=﹣2x2﹣4x+5 ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 几何变换．
分析： 先得到抛 物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣1，7），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答： 解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的对应点的坐标为（﹣1，7），所以平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2+7=﹣2x2﹣4x+5．
故答案为y=﹣2x2﹣4x+5．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．已知方程x2﹣3x+1=0的两个根是x1，x2，则：x12+x22= 7 ．
考点： 根与系数的关系．
分析： 根据x1+x2=﹣ ，x1x2= ，求出x1+x2=3，x1x2=1，再根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2即可求求出答案．
解答： 解：根据题意x1+x2=3，x1x2=1，
则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7，
故答案为：7．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
16．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设EC=x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 y=﹣ x2+4x ．
考点： 正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△A DF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解．
解答： 解：在正方形ABCD中，AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4﹣x，
∴y=42﹣2× ×4×（4﹣x）﹣ x2，
=﹣ x2+4x，
即y=﹣ x2+4x．
故答案为：y=﹣ x2+4x．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．
三、解答题（共102分）
17．解方程
①2=9（直接开平方法） ②x2+3x﹣4=0（用配方法）
③x2﹣2x﹣8=0（用因式分解法） ④（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
分析： ①直接开平方即可；
②移项后配方；
③用十字相乘法解答；
④化为一般形式后用十字相乘法解答．
解答： 解：①开方得，2x﹣1=±3，
解得x1=2，x2=﹣1．
②移项得，x2+3x=4，
配方得，（x+ ）2= ，
开方得，x+ =± ，
解得，x1=1，x2=﹣4．
③因式分解得，（x+2）（x﹣4）=0，
解得，x1=﹣2，x2=4．
④方程可化为x2﹣7x+12=0，
因式分解得，（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得x1=3，x2=4．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法，不同方程要用不同的合适的方法解答．
18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
考点： 等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
分析： 首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
解答： 解：∵x2﹣9x+20=0
解得x1=4，x2=5
∵等腰三角形底边长为8
∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形
∴等腰三角形腰长为5．
点评： 本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
19．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y与x的函数关系式．
当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
考点： 二次函数的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）已知一边长为xcm，则另一边长为．根据面积公式即可解答．
把函数解析式用配方法化简，得出y的最大值．
解答： 解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）．
则y=x（10﹣x）化简可得y=﹣x2+10x
y=10x﹣x2=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+25，
所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm2．
点评： 本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．
20．已知方程ax2+4x﹣1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 利用根的判别式：△=b2﹣4ac来求解，把系数代入可得16+4a，然后根据一元二次方程根与判别式的关系分别把对应的不同情况列成不等式，解关于a不等式即可求出a的取值范围．
解答： 解：∵△=b2﹣4ac=16+4a，且a≠0
①：当△＞0时有两个不相等的实数根，∴16+4a＞0，∴a＞﹣4且a≠0；
②：当△=0时有两个相等的实数根，∴16+4a=0，∴a=﹣4；
③：当△＜0时没有实数根，∴16+4a＜0，∴a＜﹣4．
点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
21．抛物线y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．
考点： 二次函数的三种形式；二次函数的性质．
专题： 计算题；配方法．
分析： （1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴；
由对称轴x=﹣2，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；
（3）判断函数值的符号，可以令y=0，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系．
解答： 解：（1）∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，
∴顶点坐标为，对称轴为直线x=2；
∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴当x＞2时，y随x的增 大而减小；
（3）令y=0，即﹣2x2+8x﹣6=0，解得x=1或3，抛物线开口向下，
∴当x=1或x=3时，y=0；
当1＜x＜3时，y＞0；
当x＜1或x＞3时，y＜0．
点评： 本题考查了抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握．
22．一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润平均月 增长的百分率是多少？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 等量关系：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．
解答： 解：设平均每月增率是x，则可以列方程
2500（1+x）2=3025，
（1+x）2=1.21，
1+x=±1.1，
∴x1=0.1，x2=﹣2.1（不符合题意，舍去），
∴取x=0.1=10%．
答：这两个月的利润平均月增长的百分率是10%．
点评： 解与变化率有关的实际问题时：
（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；
可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．
23．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： 本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是，可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．
解答： 解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B，设这个函数为y=kx2．
将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．
点评： 本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键．
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
解答： 解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2）•=288，
∴2（x﹣2）2=288，
∴（x﹣2）2=144，
∴x﹣2=±12，
解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，
所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为 xm．根据题意，得（ x﹣2）•（x﹣4）=288．
解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．
所以x=28， x= ×28=14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
点评： 解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．
25．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
速度（km/h） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距离（m） 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8
（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
（3）某该型号汽车在国道（车速不可超过140km/h）上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m，请推测该汽车刹 车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）依题意描点连线即可．
设抛物线为y=ax2+bx+c，再根据表格中所给数据可得方程组 ，解出a，b，c即可．
（3）当y=46.5时，代入函数关系式解出x的值，根据题意进行取舍即可．
解答： 解：（1）如图所示：
根据图象可估计为抛物线．
∴设y=ax2+bx+c．
把表内前三对数代入函数，可得
，
解得 ，
∴y=0.002x2+0.01x．
经检验，其他各 数均满足函数（或均在函数图象上）；
（3）当y=46.5时，46.5=0.002x2+0.01x．
整理可得x2+5x﹣23250=0．
解之得x1=150，x2=﹣155（不合题意，舍去）．
所以可以推测刹车时的速度为150千米/时．
∵150＞140，
∴汽车发生事故时超速行驶．
点评： 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
26．已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．
（1）求抛物线的解析式；
若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
专题： 代数几何综合题．
分析： （1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
（3）本题应分情况讨论：
①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；
②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
解答： 解：（1）∵B（1，0），
∴OB=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，﹣3）；
∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴ ；
解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为：
过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在 中，令y=0，
得方程
解这个方程，得x1=﹣4，x2=1
∴A（﹣4，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴
解这个方程组，得
∴AC的解析式为：
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=
=
设 ，
当x=﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值
（3）如图所示，
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴
解得x1=0，x2=﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴ ，
x2+3x﹣8=0
解得 或 ，
此时存在点 和
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）， ， ．
点评： 此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．