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海淀区九年级第一学期期中测评
数 学 试 卷
（分数：120分 时间：120分钟） 2015.11
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有 四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A． B． C． D．
2． 下列图形是中心对称图形的是
A ． B． C． D．
3．二次函数 的最大值是
A． B． C．1 D．2
4．已知⊙O的半径是4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．将抛物线 沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A． B． C． D．
6．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为
A． B． C． D．
7．用配方法解方程 ，下列配方正确的是
A． B． C． D．
8．已知二次函数 的图象如图所示，则下列选
项中不正确的是
A． B．
C．0 < D．
9．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若 ，则 等于
A． B． C． D．
10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：
x/分 … 2.66 3.23 3.46 …
y/米 … 69.16 69.62 68.46 …
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是
A．7分 B．6.5分 C．6分 D．5.5分
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．方程 的解为_______________．
12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________．
13．若二次函数 的图象上有两个点 、 ，
则a____ （填“<”或“=”或“>”）．
14．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=______°．
15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为_______米（ 取1.4）．
16．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转 （ ），得到 、 、 ，连接 、 、 、 、 ．
（1） _______〬；
（2）当 〬时，△ 的周长最大．
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解方程： ．
18．若抛物线 与 轴只有一个交点，求实数 的值．
19．已知点(3, 0)在抛物线 上，求此抛物线的对称轴．
20．如图，AC是⊙O的直径，PA, PB是⊙O的切线，A, B为切点， ．求∠P的度数．
21．已知x=1是方程 的一个根，求代数式 的值．
22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．
23．已知关于x的方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高（ 取2.2 ）．
25．已知AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的弦，AB=2，AC= ，AD=1，求∠CAD的度数．
26．抛物线 与直线 相交于A 、B 两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若 ，则 的最小值为________.
27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D. P为AB延长线上一点， .
（1）求证：CP为 ⊙O的切线；
（2）BP=1， .
①求⊙O的半径；
②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为 .
28.探究活动：
利用函数 的图象(如图1)和性质，探究函数 的图象与性质.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)函数 的自变量x的取值范围是___________；
(2)如图2，他列表描点画出了函数 图象的一部分，请补全函数图象；
解决问题：
设方程 的两根为 、 ，且 ，方程 的两根为 、 ，且 .若 ，则 、 、 、 的大小关系为 （用“<”连接）．
29．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60得到点Q. 点N为x轴上一动点（N不与A重合 ），将点M绕点N顺时针旋转60得到点P. PQ与x轴所夹锐角为 .
（1） 如图1，若点M的横坐标为 ，点N与点O重合，则 =________；
（2） 若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求 的度数；
（3） 当直线PQ与⊙O相切时，点 的坐标为_________.
海淀区九年级第一学期期中测评
数学试卷参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D A A A B B C D B C
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
题 号 11 12 13 14 15 16
答 案
（答案不唯一） < 130 0.6 120，150
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解： ……………………………………………1分
． ……………………………………………3分
∴ 或 ．
∴ . ………………………………………………………5分
18．解：∵抛物线 与 轴只有一个交点，
∴ ，………………………………………2分
即 ．……………………………………………4分
∴ ．……………………………………………5分
19．解：∵点(3, 0)在抛物线 上，
∴ ．………………………………………2分
∴ ．……………………………………………3分
∴抛物线的解析式为 ．
∴对称轴为 ．……………………………………………5分
20．解：∵PA,PB是⊙O的切线，
∴PA=PB．…………………………… …………1分
∴ ．………………………………………2分
∵AC为⊙O的直径，
∴CA⊥PA．
∴ º．………………………………………3分
∵ º，
∴ º．………………………………………4分
∴ º．………………………………………5分
21．解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ．………………………………………2分
∴ ．…………………………………………3分
∴原式 ………………………………………4分
．………………………………………5分
22．解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA, OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．………………………… 1分
∴ º.
∵AB∥CD，
∴ º．
∵ ， ，
∴ ， ． …………………………2分
在Rt△OAM中，
∵ ，
∴ ． ………………………………3分
同理可得 ．………………………………4分
∴
答：水面下降了0.2米．…… ……………………5分
23．（1）证明： ．……………………………1分
∵ ，
∴ ．
即 ．
∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分
（2）解方程，得 ．……………………………………………4分
∵方 程有一个根大于2，
∴ ．
∴ ．……………………………………………5分
24．解：如图，雕像上部高度AC与下部高度BC应有 ，即 ．
设BC为x m. …………………………………1分
依题意，得 ．.………………………………………3分
解得 （不符合题意，舍去）．……4分
．
答：雕像的下部应设计为1.2m．…………………………5分
25． 解：如图1，当点D、C在AB 的异侧时，连接OD、BC. ………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴ º．
在Rt△ACB中，
∵ ， ，
∴ ．
∴ º．………………2分
∵ ，
∴ º．………………3分
∴ º．………………4分
当点D、C在AB 的同侧时，如图2，同理可得 ， ．
∴ º．
∴ 为15º或 º． …………………5分
26．解：（1）∵直线 经过点B（2，-3），
∴ ．
∴ ．……………………………………………1分
∵直线 经过点A（-2，n），[
∴ ．……………………………………………2分
∵抛物线 过点A和点B，
∴
∴
∴ ．……………………………………………4分
（2） . ……………………………………………5分
27．（1）证明：连接OC. ……………………………1分
∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，
∴∠POC =∠PCD．……………………………2分
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ODC=90．
∴∠POC+∠OC D =90º．
∴∠PCD+∠OCD =90º．
∴∠OCP=90º．
∴半径OC⊥CP．
∴CP为⊙O的切线． ……………………………………………3分
（2）解：①设⊙O的半径为r .
在Rt△OCP中， ．
∵
∴ ． ………………………4分
解得 ．
∴⊙O的半径为2． ……………………………………………5分
② ． ……………………………………………7分
28．解：（1） 或 ；……………………………………………2分
（2）如图所示：
……………………………………5分
. .……………………………………………7分
29. 解：（1） . ……………………………………………2分
（2）
.……………………………………………3分
连接 .记 分别交 轴于 .
∵将点M绕点A顺时针旋转60得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60得到点P，
∴△ 和△ 均为等边三角形. ………………4分
∴ ， ， .